基本的な問題ですみません。階段行列を使った連立一次方程式の解き方

質問

線形代数を学び始めた者です。教科書が本当に難しくて、授業もあまり分かっていない状態で恥ずかしい限りなのですが、ズバリ
２ｘ－ｙ－ｚ＝１
－ｘ－２ｙ－ｚ＝１
－ｘ－ｙ＋２ｚ＝１
ってどう解けばいいんでしょうか・・。
階数の求め方まではもとめられるのですが、具体的な解法を教えてください。

回答No.2

caramel_latte · ベストアンサー

線形代数は嫌ですよねぇ・・・私も嫌いでした(>_<)
今は全然なんですけど☆
１年生の時にはどれだけ苦労したか・・・
解き方ですが、行変形を用いてってことですかね？
学び初めってことなので、そうかな？と思ったんですが。
階段行列を・・・というし。
まず、拡大係数行列は、
(　２　－１　－１｜１)
(－１　－２　－１｜１)
(－１　－１　　２｜１)
となります。　
で、これを行変形して解いていくには、
　　　　　　｜　２　－１　－１　｜１　
　　　　　　｜－１　－２　－１｜１　　　　　　　☆１
　　　　　　｜－１　－１　　２　｜１
━━━━━━━━━━━━━━
(1)＋２(2)｜　０　－５　－３　｜３
　　　　　　｜－１　－２　－１｜１　　　　　　　☆２
(3)－(2)　｜　０　　１　　３　　｜０
━━━━━━━━━━━━━━━
(1)＋５(3)｜　０　　０　１２　　｜３
(2)＋２(3)｜－１　　０　　５　｜１　　　　　　　　☆３
　　　　　　｜　０　　１　　３　　｜０
━━━━━━━━━━━━━━━━
(1)÷１２　｜　０　　０　　１　　｜１／４
　　　　　　｜－１　　０　　５　｜１　　　　　　☆４
　　　　　　｜　０　　１　　３　　｜０
━━━━━━━━━━━━━━━
　　　　　　｜　０　　０　　１　　｜１／４
(2)－５(1)｜－１　　０　　０　｜－１／４　　　　　☆５
(3)－３(1)｜　０　　１　　０　　｜－３／４
━━━━━━━━━━━━━━━━
　　　　　　｜　１　　０　　０　　｜１／４
　　　　　　｜　０　　１　　０　　｜－３／４
　　　　　　｜　０　　０　　１　　｜１／４
で、階段行列になり、
解はＮＯ.１さんと同じです☆
各段階で、何をしたかというと・・・

☆１　(２,１)の成分、つまり－１を基本とします。
☆２　１列目の他の成分を０にするように、－１に都合のいい数をかけて変形します。
次に(３,２)成分、つまり１を基本とします。
☆３　２列目の他の成分を０にします。
☆４　１行目を１２で割ります。
で、(１，３)成分、１を基本とします。
☆５　３列目のほかの成分を０にし。
☆６　階段になるように行の入れ替えをします。
で、解が求まります！
解を求める時は，ｘ・ｙ・ｚの係数は１で無いとダメです！
左側に変形のための式を書いておくと、
間違えた時に計算しなおしやすいし、最初は楽かと思います。
(１)・(２)とかは１行目・２行目ってことです。
基本とする成分は、同じ行や列を２度使ってはダメです。
参考になりましたでしょうか？？
意味不明なとこや、分からないことがあれば、
補足していただければ！
問題を解いていくうちに、慣れて楽しくなるかと思います♪
見づらかったらスイマセン・・・

お礼

大変ご丁寧な回答ありがとうございました。とても参考になりましたし、コツがつかめました。

回答No.1

eliteyoshi

連立方程式を行列の形にすると、

( 2 -1 -1 ) ( x ) ( 1 )
| -1 -2 -1 | | y |=| 1 |　・・・(A)
( -1 -1 2 ) ( z ) ( 1 )

となり、ここで

( 2 -1 -1 )
| -1 -2 -1 |=P
( -1 -1 2 )

としてPの逆行列P^-1を求める(途中式省略)と

1 ( 5 -3 1 )
― | -3 -3 -3 | =P^-1
12 ( -1 -3 5 )

となります。よってP^-1を式(A)の両辺の左側からかけると

( x ) 1 ( 5 -3 1 ) ( 1 )
| y |= ― | -3 -3 -3 | | 1 |
( z ) 12 ( 1 -3 5 ) ( 1 )

∴
( x ) ( 1/4 )
| y |= | -3/4 |
( z ) ( 1/4 )

となります。

お礼

これは線形代数の解き方ではないですね。でも、こういう方法もあると教えていただきありがとうございました。