線形代数分野のVandermonde行列式に関しての問題。

質問

線形代数分野のVandermonde行列式に関しての問題。

Vandermonde行列式

Δ(t,x,y,z):=
│ t^3 x^3 y^3 z^3 │
│ t^2 x^2 y^2 z^2 │
│ t x y z │
│ 1 1 1 1 │

δ（x,y,z）:=

│x^2 y^2 z^2 │
│ x y z │
│ 1 1 1 │

このとき、次のように整理できることが知られている。
Δ(t,x,y,z)/ δ（x,y,z）= t^3-e1(x,y,z)t^2 + e2(x,y,z)t-e3(x,y,z)t

ここで、各ei(x,y,z) (i = 1,2,3.)

この問題はどうやって解くんですか。教科書一生懸命見たけど、ぜんぜんわからなくて、教えてください。

回答No.4

arrysthmia · ベストアンサー

|x^3　y^3-x^3　z^3-x^3|
|x　　y-x　　　z-x　　| =
|1　　0　　　　0　　　|

|y^3-x^3　z^3-x^3|
|y-x　　　z-x　　| =

(y^3 - x^3)(z - x) - (z^3 - x^3)(y - x) =

(y - x)(z - x){ (y^2 + yx + x^2) - (z^2 + zx + x^2) } =

(y - x)(z - x)(y - z)(y + z + x)

同様に δ = (y - x)(z - x)(y - z) も計算すれば、
e1 = (y + z + x) が分かる。

このように、根性だけでも３次くらいは扱える。
もう少しマシなやり方としては、

行列式の定義より、Δ は、t, x, y, z の多項式となるが、
t = x, y, z のとき、列に重複が生じて Δ = 0 になることから、
その多項式は、(t - x)(t - y)(t - z) で割り切れる。
Δ を第一列で余因子展開すると、t^3 の係数が δ であることが分かるから、
Δ = (t - x)(t - y)(t - z)δ である。
よって、Δ/δ = …

たぶん、これは、多くの教科書に載っている。

お礼

本当にありがとうございました。！とても助かりました。！神様もあなたのことを祈っています。

回答No.3

Tacosan

δ は残りません. きっちり消えます.
でも, 割り算するんでしょ? だったら, 「因数分解できるといいな」とか, 思いませんでしたか?

回答No.2

arrysthmia

行列式の「余因子展開」とは何か、復習のこと。
Δ を第一列について余因子展開した後、
各項の係数を、δ を括りだす方向で整理すれば、
ei は求まる。

補足

arrysthmiaさんのヒントで、
答えは
e1 =
|x^3 y^3 z^3|
|x y z |/δ
|1 1 1 |

e2=
|x^3 y^3 z^3|
|x^2 y^2 z^2|/δ
|1 1 1 |

e3＝xyz

ですか？
後の/δはそのままで大丈夫ですか？

回答No.1

Tacosan

ei(x, y, z) としてどのような形が要求されてるかは知らんけど....
「解き方」はほとんど自明では? Δ と δ をがんばって計算して, その比を取ればいい.
ああ, もちろん 3次の行列式や 4次の行列式が計算できることが大前提だけど.