微分方程式の解き方

質問

次に示す式の解き方を教えて下さい。

dqt/dt=8α(1/4-qt)------(1)
この式をt=0、q=1という初期条件を考慮して、微分方程式を解くと、
qt=1-3/4(1-e-8αt)-----(2）となります。
どのようにしたら、(1)→(2)になるかを教えて下さい

※qtのtはスモールtです。また、e-8αtの-8αtは指数です。
ちなみにこの式は塩基置換推定法Jukes-Cantor法の
d=-3/4log(1-4/3p)を導くときに出てくる計算です。

式が読みにくいかもしれませんがどうぞよろしくお願い致します。

回答No.1

sakura_214 · ベストアンサー

このまま普通に変数分離でできます．qとtを含む項をそれぞれ左辺と右辺に分けて両辺を積分しましょう．

dq/dt=8a((1/4)-q)
→ dq/(q-(1/4))=-8adt
→ ∫dq/(q-(1/4))=∫(-8a)dt
→ log(q-(1/4))=-8at+C　（Cは定数）
→ q-(1/4)=C'e^(-8at)　(改めて定数C'=e^Cとおく）
初期条件t=0,q=1を代入すると，C'=3/4となるので，
q=(1/4)+(3/4)e^(-8at)=1-(3/4)(1-e^(-8at))

※指数は「^」を使うことが多いです．

お礼

すごく助かりました。
また、何かありましたらどうぞよろしくお願い致します。