微分方程式の導き方

質問

微分方程式の導き方でわからないところがあります。
K(w)=∫[∞,-∞]coswtexp(-(t^2)/(σ^2))dt
が、dK(w)/dw+(σ^2)wK(w)/2=0を満たすことを示したいのですが自力ではできません。
dK(w)/dw <--ここの計算が特にできません。tではなくwで微分するから合成関数微分法を使うしか方法がないと思います。
どうでしょうか？

回答No.4

KENZOU · ベストアンサー

この積分をまともに計算するのは一筋縄ではいきません。そこでまともに積分するのを諦め(笑い）、与式を満たすか否かを調べてみましょう。
dK(w)/dwの計算は＃3のendlessriverさんのご回答通りです。
＞tではなくwで微分するから合成関数微分法を使う
と難しく考えるより、積分して微分するのと微分して積分するのは結果が同じということを利用します。つまり、先にwで微分し、その結果をtで積分してやるということですね。結果を再掲すると
dK(w)/dw=∫[∞,-∞](cos wt)' exp(-(t^2)/(σ^2))dt
=-t∫[∞,-∞](sin wt)exp(-(t/σ)^2)dt　　(1)
一方、K(w)を部分積分してやると
K(w)=∫[∞,-∞]coswtexp(-(t/σ)^2)dt
　　=[∞,-∞](1/w)sinwt・exp(-(t/σ)^2)+2(1/w)(t/σ^2)∫[∞,-∞]sinwtexp(-(t/σ)^2)dt
ここで右辺第１項は0に収束するとしました(ご自分で確認してください←手抜き　汗；）。すると
K(w)=2(1/w)(t/σ^2)∫[∞,-∞]sinwtexp(-(t/σ)^2)dt　(2)
となりますね。(2)に(σ^2)w/2を掛けると
(σ^2)wK(w)/2=t∫[∞,-∞]sinwtexp(-(t/σ)^2)dt=-dK(w)/dw
となって無事与式が満足されることが分かりました。

回答No.5

oyaoya65

#1です。
ミスです。修正します。

＞dK(w)/dw=∫[∞,-∞](cos wt)' exp(-(t^2)/(σ^2))dt
これは正しいです。

＞=-w∫[∞,-∞](sin wt)exp(-(t^2)/(σ^2))dt
=-∫[∞,-∞] t(sin wt)exp(-(t^2)/(σ^2))dt
が正しいです。

回答No.3

endlessriver

＃２です。ちょっと見誤ったので
dK(w)/dw=∫[∞,-∞](cos wt)' exp(-(t^2)/(σ^2))dt
=∫[∞,-∞] (-t) (sin wt)exp(-(t^2)/(σ^2))dt

になると思います。

回答No.2

endlessriver

dK(w)/dw 以後の計算は

∫f'g=[fg]-∫fg', f=-te^(-t^2/σ^2), g=sin wt
∫fdt=∫{-te^(-t^2/σ^2)}dt=(σ^2/2)e^(-t^2/σ^2)
fgは奇関数

を利用する。ただし、広義積分に関して上記の公式を適用できるか（挫折したところなので）不明。m(_ _)m

回答No.1

oyaoya65

dK(w)/dwについては

dK(w)/dw=∫[∞,-∞](cos wt)' exp(-(t^2)/(σ^2))dt
=-w∫[∞,-∞](sin wt)exp(-(t^2)/(σ^2))dt

でいいと思います。