漸化式（階差数列使用）

質問

a_1=3 、a_n+1=3a_n　-4で定義される一般項a_nを求めよで、
辺辺引いたりしてa_n+1-a_n=3(a_n -a_n-1) (n≧２)
a_n+1 -a_n=b_nでb_n=3b_n-1 (n≧２)また、b_1=2よって
{b_n}は初項２　公比３の等比数列であるからb_n=2・3^n-1(n≧１)ここまではわかるのですが、ここ以降何をしてるのかよくわかりません。
先を見ると
ゆえに、ｎ≧２のとき　a_n=a_1+Σ（k=1～ｎ-1）2・3＾k-1＝3^n-1 +2
となっています・・・・ここの詳しい解説をしてもらえないでしょうか

回答No.4

endlessriver

今回はa(n+1)＋A=3{a(n)＋A}と置いてAを求めた方が等比級数の積として簡単にとけると思います。

回答No.3

karura_gq

b_nの式にn=1、2・・・n-1を代入してみましょう。

a_2-a_1=b_1
a_3-a_2=b_2
a_4-a_3=b_3
(中略)
a_n-a_n-1=b_n-1

となりますよね。
これを左辺、右辺同士加算すると左辺の途中は上手く相殺されて
a_n-a_1=Σ(b_n)　(n≧2)となります。(右辺は1～n-1までの和)
よって、a_n=a_1+Σ(b_n)
=3 +2・3^(n-1)-1/(3-1)
=3 +3^(n-1) - 1
=3^(n-1) + 2
となります。

回答No.2

4951snk

a_n=a_1+Σ（k=1～ｎ-1）2・3＾k-1　というのは、
a_n=a_1+Σ（k=1～ｎ-1）b_k　ということです。
　階差数列は、『数列の「各項の差」からなる数列を元の数列の階差数列と言います。』ので、各項の差を足していくΣが必要になります。

参考URL：

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/kaisa.html

回答No.1

o2studio

b_n=a_n+1－a_n＝2・3^n-1
ですから、
a_n+1＝a_n＋2・3^n-1
です。
これから、
a_n＝a_n-1＋2・3^n-2
ですから、代入すると
a_n+1＝a_n-1＋2・3^n-2＋2・3^n-1
となります。これをa_n-1からa2まで繰り返して代入していくと
a_n+1＝a_1＋2・3^0＋2・3^1＋2・3^2＋・・・＋2・3^n-1
となります。a_1以外は等比数列の和です。
ｎ≧２のときはa_n=a_1+Σ（k=1～ｎ-1）2・3＾k-1
になります。
階差数列の性質ですので覚えておいてもいいです。