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階差数列についての質問
- 階差数列についての質問です。数列a(n)の階差数列をb(n)とするとき、a(n)＝a(1)＋∑b(k) (n≧2) の結果に対し、n=1がa(1)になるかどうかを確認する方法について教えてください。
- b(n)が指数関数や分数関数などの場合でも、∑b(k)でn=1は0になることを確認しました。しかし、初等関数やその組み合わせでn=1のときの∑b(k)が0にならない例について教えてください。
- b(n)についての質問です。階差数列において、b(n)が初等関数やその組み合わせで表わされる場合、n=1のときの∑b(k)が0にならない例について教えてください。ただし、「一言」で表せないものは除きます。
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ANo.3のお礼について >例えばΣb_k=1+1/2+1/3+1/4+1/5+・・・+1/(n-1)がもし >計算できれば（既知の普通の関数f(n)に表現できれば） >きっとf(1)=0となる、ということですね。 >直観的ですがf(1)=0は非常に考えにくいので >Σb_k=1+1/2+1/3+1/4+1/5+・・・+1/(n-1) >は計算できない、ということになるのですね これについては計算できます．結果だけ示すと， f(n)=1+1/2+1/3+・・・+1/(n-1)=γ+Γ'(n)/Γ(n) となります．ここで γ=0.57721・・・はEulerの定数 Γ(x)=∫_0^∞e^{-t}t^{x-1}dtはガンマ関数 実際にΓ'(1)/Γ(1)=-γとなることがしられているので，やはりf(1)=0となります．ガンマ関数に関しては，やはり解析概論に基本的なことがのっており，ここで述べたことなどは以下の本に結果がまとめてあります． 森口，宇田川，一松著「岩波 数学公式I，II，III」（岩波書店）＜－これは数理系の人には今でも必携です！
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- ereserve67
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ANo.7に訂正があります． もう少し分かりやすく話しましょう． 質問者様の「初等関数あるいはその組み合わせ」という表現を「解析的な式」と呼びましょう．a(n)は自然数nの関数とみることもできます．解析的な式，例えばf(ｘ)=x^2e^{-x}のようなものはグラフにすると「なめらか」です．ある点でぴょんと値がずれているなどということはありません．例えばf(x)=x^2/x(x≠0),1(x=0)のグラフは「なめらか」ではありません． n≧2のとき数列b(k)=sinkθの和の公式 Σ_{k=1}^{n-1}sinkθ=sinθ+sin2θ+・・・+sin(n-1)θ =sin(nθ/2)sin{(n-1)θ/2}÷sin(θ/2) において，左辺はn=1で意味を持ちませんが，右辺はn=1でも普通に計算でき0を与えます．質問者様の意図はこのような公式で右辺（n-1個の和の計算結果）がn=1で0にならないことが，解析的な式で表された数列b(k)に対して存在するかということですね． 少し背理法的な考えで議論しましょう．解析的な式b(k)の和 (※)Σ_{k=1}^{n-1}b(k)=B(n) (n≧2) において，和の計算結果B(n)はやはりnの解析的な式であるとしましょう．このとき，B(1)は定義域の延長で普通に計算できます．今， B(1)≠0 と仮定します．すると，a(n)=a(1)+B(n) (n≧2)であるから，数列 (☆) a(1)+B(1),a(1)+B(2),・・・,a(1)+B(n),・・・ は初項のみ{a(n)}と異なる数列です．なぜならa(1)+B(1)≠a(1)だからです．一方， (★) B(1),B(2),・・・,B(n),・・・ について，B(n)(n≧2)はnの解析的な式になっていて，B(1)はその解析的延長によって得られた値なので，この数列(★)はなめらか，したがって（☆）もなめらかな変化をします．すると（☆）と定数a(1)異なる数列｛a(n)｝はn=1で特異性をもつことになります．{a(n)}がなめらかつまりa(n)が解析的であるとするなら，これは矛盾です． ※＜―ここが前回と異なる主な部分 こうしてB(n)が解析的な式として得られた場合は一般的にB(1)=0となることがわかります． この議論をみても分かるように，B(n)がB(1)=0でないとすると，a(n)が解析的でなくなる可能性があります．一般に，数列の定義や関数の定義を場合分けなど規約によって人為的決めたりすると，理論に解析性がなくなってしまい，あまり見通しがよくなりません． 質問者様が考えるような自然さを保証してくれるのはやはり理論の解析性です．高木貞治著「解析概論」は大学になってできるだけ早いうちにしっかり読みましょう．解析接続はとても興味あるものです．
- ereserve67
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ANo.3です．もう少し分かりやすく話しましょう． 質問者様の「初等関数あるいはその組み合わせ」という表現を「解析的な式」と呼びましょう．a(n)は自然数nの関数とみることもできます．解析的な式，例えばf(ｘ)=x^2e^{-x}のようなものはグラフにすると「なめらか」です．ある点でぴょんと値がずれているなどということはありません．例えばf(x)=x^2/x(x≠0),1(x=0)は質問者様のおっしゃるように「解析的」ではありません． n≧2のとき数列b(k)=sinkθの和の公式 Σ_{k=1}^{n-1}sinkθ=sinθ+sin2θ+・・・+sin(n-1)θ =sin(nθ/2)sin{(n-1)θ/2}÷sin(θ/2) において，左辺はn=1で意味を持ちませんが，右辺はn=1でも普通に計算でき0を与えます．質問者様の意図はこのような公式で右辺（n-1個の和の計算結果）がn=1で0にならないことが，解析的な式で表された数列b(k)に対して存在するかということですね． 少し背理法的な考えで議論しましょう．解析的な式b(k)の和 (※)Σ_{k=1}^{n-1}b(k)=B(n) (n≧2) において，和の計算結果B(n)はやはりnの解析的な式であるとしましょう．このとき，B(1)は定義域の延長で普通に計算できます．今， B(1)≠0 と仮定します．すると，a(n)=a(1)+B(n) (n≧2)であるから，数列 (☆) a(1)+B(1),a(1)+B(2),・・・,a(1)+B(n),・・・ は初項のみ{a(n)}と異なる数列です．なぜならa(1)+B(1)≠a(1)だからです．一方，a(n)=b(n+1)-b(n)はnの解析的な式であるから，数列{a(n)}はnについてなめらかに変化します．よって数列（☆）は初項のみ特異性をもつ数列で，この数列の各項から一斉に定数a(1)を取り除いた数列 (★) B(1),B(2),・・・,B(n),・・・ も初項のみ特異性をもつ数列になります．ところが，B(n)はnの解析的な式になっていて，B(1)はその解析的延長によって得られた値なので，数列(★)は滑らかな変化をしなくてはならず，n=1で特異性をもつことは許されません．これは矛盾です． こうしてB(n)が解析的な式として得られた場合は一般的にB(1)=0となることがわかります．
＞となりますがn≧2での式が結果としてn=1でも ＞成り立つかどうかの問題と違うのですか。 ＞そう解釈したのですが。 くりかえしますが、証明のロジックとして、n≧2が前提で得られた結果を使って導き出されたものについてn=1のときにどうなっているかというのはn=1について別途確認しなければならないのです。n≧2で命題P(n)が成り立つからといって、P(1)が成り立つかどうかわからないのです。なぜならP(1)についての情報は何もないから。 おそらくあなたは、n≧2のときしか情報が与えられていないという情況と、b(n)の定義の仕方がn=1とn≧2とで場合分けされているというのとを混同していると思われます。
お礼
いろいろありがとうございます。 おっしゃられていることが少しわかったような気がします。 証明の手順、前提条件、ロジックをもう一度考えてみます。 どうもありがとうございました。
＞n=1ときは両者が偶然一致したのではないと思うのです。 いいえ、偶然です。だからこそn=1のケースを示す必要がある。 ＞一般的には、a(1)が一致しない場合が ＞ほとんどだと思います。たとえば ＞ {b(n)}={b(n)｜b(1)=2，b(n)=2n+1（n≧2)｝いいかえると ＞ {b(n)}={2，5，7，9，11，13，・・・} ＞を階差数列にもつ初項が例えば1の数列{a(n)}は ＞ n≧2ではa(n)=a(1)＋∑b(k)=(n-1)(n+1) ＞でn=1は一致しません。 そのロジックは間違っています。なぜなら引用部最後から2行目の部分で、∑b(k)の計算にn≧2という条件を使ってしまっているから。
お礼
度々すみません。 例えば a(n)_ 1 , 3 , 8 , 15 , 24 , 35 , 48 ,... b(n)__ 2 , 5 , 7 , 9 , 11 , 13 ,... で数列a(n)は n=1のとき1 n≧2のとき(n-1)(n+2) となりますがn≧2での式が結果としてn=1でも 成り立つかどうかの問題と違うのですか。 そう解釈したのですが。
たぶん、ANo.2お礼欄の二十引用符内「 n≧2のときa(n)=2n^2-3n+2」は省略された書き方であって、実際に教科書ではもう少し詳しく書かれていませんか？ そこでのa(n)の計算をするときに「n≧2」が前提として使われているのではないですか？ あるいは一歩譲って省略されていなかったとしても、その教科書での階差数列についての説明に「n≧2」が前提として使われる箇所があるのではないですか？ 仮にそうだとすると、「n≧2のときa(n)=2n^2-3n+2」という条件からは、n=1のときであるa(1)についての情報が得られません。しかし、a(1)は実は式2n^2-3n+2でn=1としたときの値と偶然一致しているということでしょう。ですので、不適切どころか、n=1の場合について別途言及する必要がありますし、言及していなければおかしいですしもしテストで採点されるなら減点対象になるでしょうね。 ただ、階差数列の場合、ANo.1で述べた理由により一致しないなんてことはないです。つまり、上述の「n≧2」を前提とする必要はないです。ではなぜわざわざそんなまわりくどい書き方になっているかというと、「Σの中は0個の項の和なので0」を言いたくなかったんでしょうね、きっと。なぜ言いたくなかったかの理由はわかりません。 ちなみに、「階差数列」という条件を取っ払えばまた状況は変わります。二十引用符の部分から階差数列という条件を取り去れば、a(n)={1，4，11，22，,37，56,・・・}をみたす階差数列でない数列を与える式を作ることができます。
お礼
ご丁寧なご教示ありがとうございます。 確かに教科書にはa(n)の計算にn≧2の前提が入っています。 従ってn=1の場合は別途言及する必要があることは理解できます。 しかし，b(n)と∑b(k)が多項式等、初等関数で表現できる場合ですが、 n=1ときは両者が偶然一致したのではないと思うのです。 例えば、例が悪いですが、指数法則の負数への拡張や三角比の 90°以上の拡張の場合、拡張以前は「指数は正の整数とする」 等の前提条件が必要で答案にはいちいち「指数は正の整数とする」 の言及が必要です。だから当該数列でもn≧1の言及が必要なのは 分かります。 また、例えばf(x)=x^2/xにおいて、f(0)は存在しませんが f(0)=0として矛盾が出る場合はごくわずかと思います。 n=1の確認はこのような例と同じではないかと思うのです。 それから階差数列の場合、一般的には、a(1)が一致しない場合が ほとんどだと思います。たとえば {b(n)}={b(n)｜b(1)=2，b(n)=2n+1（n≧2)｝いいかえると {b(n)}={2，5，7，9，11，13，・・・} を階差数列にもつ初項が例えば1の数列{a(n)}は n≧2ではa(n)=a(1)＋∑b(k)=(n-1)(n+1) でn=1は一致しません。 ちなみに有限数列の場合は、N個の点を通る多項式関数が存在する ので、n=1で一致する一般解a(n)は存在するのですが・・・。
- ereserve67
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これと似たような問題に数列の一般項a_nとその和S_nの関係があります． S_n=Σ_{k=1}^na_k とおくと， a_1=S_1 a_n=S_n-S_{n-1} (n≧2) となります．この下の式で仮にn=1のときも成り立つようにするためにはS_0=0と定義しなくてはなりません．（Σ計算ができないので） 定義S_0=0が自然かどうかは具体例でもわかります．例えばS_n=2^n-1のように解析的な式でS_0=0を満たす場合a_n=2^{n-1}と解析的な式になります．ところが，S_n=2^n+1のように解析的な式でもS_0=2≠0となる場合はa_1=3,a_n=2^{n-1}(n≧2)のような人為的な式になり解析的ではありません． つまり，Σ_{k=1}^0b_k=0となるのは自然な定義です．b_nが解析的な場合でΣb_kが計算できる場合は必ずΣ_{k=1}^0b_k=0となるのではないでしょうか．あえて言えば，Σb_kを解析的な関数と考えn=1まで解析接続すると，人為的な値ではなく自然な値が選ばれるようになっているのではないでしょうか．それが0です． 質問者様の疑問は私も高校生の時に持っていました．大学生になって「解析概論」を読んで，Riemannの除きうる特異点のことを知って，人為的関数は解析関数でないことを認識し，さらに「解析的延長＝解析接続」のことを知りました．とくに，一致の定理には深い感動を覚えました．久しぶりにこのことを思い出しましたが，本当に関係があるかどうかはよくわかりません．Diracが言ったように，物理学なら「自然は必ず簡単な法則を選ぶ」という原理みたいなものがあるので，そこまで深追いはしません．
お礼
内容を理解してからと思ったのですが お礼が遅くなり申し訳ありません。 まだ文面を理解できてない部分がたくさんあるのですが 感覚的には自分ではよく理解できているつもりです。 緻密な格調の高い内容の回答、ありがとうございます。 a_1=S_1 a_n=S_n-S_{n-1} (n≧2) について以前から何かすっきりしないな思いながら 今日まできましたがよく見ると階差数列と瓜二つ ということに今初めて気が付きました。 受験参考書のいろいろな級数和の問題で、その一般項の どれを見ても必ずn=1相当はゼロになっていました。 そういうものしか扱ってないのかも知れません。 > b_nが解析的な場合でΣb_kが計算できる場合 > 必ずΣ_{k=1}^0b_k=0となる 例えばΣb_k=1+1/2+1/3+1/4+1/5+・・・+1/(n-1)がもし 計算できれば（既知の普通の関数f(n)に表現できれば） きっとf(1)=0となる、ということですね。 直観的ですがf(1)=0は非常に考えにくいので Σb_k=1+1/2+1/3+1/4+1/5+・・・+1/(n-1) は計算できない、ということになるのですね。 分母を1×2×3×・・・×(n-1)で通分したf(n)は ・・・があるので「計算できる」にはならない となるのですね。 数列だけでなく「こうであるのが自然」という 経験は時々あります。特に幾何学は、受験問題ですが、 シンプルに自然に考えたらこうであるはずとして 解けた問題がよくあります。 ご回答で、初めての言葉が多くありましたが その中の「一致の定理」について、その理解に 挑戦しようと思います。
質問文と「お礼」の中に書いてあることとが別物のようです。 あなたの頭の中で両者がごちゃごちゃになっているみたいなので整理しなおしてみてください。 あなたが本当に聞きたいことが ＞数Bの教科書に ＞次の数列の一般項をa(n)を求めよ ＞ ＞ 1,4,11,22,37,56,・・・ ＞ ＞とうのがあり なのであれば、a(1),a(2),a(3),a(4),a(5),a(6)まで確かめる必要があります。 ”n=1がa(1)になるかどうか” とか ”この「n=1でも成り立つ」というくだりは不要ということですか。” という問いがどこからでてきたのか不明ですが、たぶん混乱されているのだと思います。 一般化して問題を二種類に増やそうとしないで、元々の問題と、教科書の中でどの表現に疑問をもったのかを正確に書いてみてください。
お礼
質問があいまいで申し訳ありません。 数Ｂの教科書内容は 『a(n)={1，4，11，22，,37，56,・・・} の階差数列b(n)={3，7，11，15，19，・・・} からa(n)の一般項は n≧2のときa(n)=1+∑b(k) よりb(n)=4n-1なので n≧2のときa(n)=2n^2-3n+2 となる。この式はn=1のとき初項a(1)=1 となるので一般項は同式 a(n)=2n^2-3n+2』 質問はこのn=1のときの確認の必要性です。 教科書ですから単なる蛇足とは思われません。 変な階差数列があるので厳密には絶対必要だと 思います。変でない，∑b(k)及びb(n)が普通の関数で （高校で習う関数の組み合わせの範囲で） n≧2の一般項関数a(n)でのa(1)と元の数列のa(1) が異なる例を教えてくださいという質問内容でした。 また変な階差数列のため正確性を維持する目的で n=1の確認をわざわざ入れることは教科書としては 不適切と感じます。 適当な反例さえあれば納得するのですが。
b(k)がどんな形かに関わらず、n=1のときはΣの中は0個の項の和なので0ということかと。 n=2のときΣの中にはb(1)という項が初めて出現してa(2)=a(1)+b(1)となるわけで。
お礼
早々の回答ありがとうございます。 数Bの教科書に 次の数列の一般項をa(n)を求めよ 1,4,11,22,37,56,・・・ とうのがあり、解は ------------------------- 「 b(n)＝4n-1 なので n≧2で a(n)=a(1)＋∑(4k-1) よりa(n)=2n・n-3n+2 で、これはn=1でも成り立つ よってa(n)=2n・n-3n+2 ------------------------ とあります。ご回答は この「n=1でも成り立つ」 というくだりは不要ということですか。
お礼
大変ご丁寧な解説ありがとうございます。 回答者様のような人がこの世にいるのかと びっくりしました。 >Σ_{k=1}^{n-1}sinkθ=sinθ+sin2θ+・・・+sin(n-1)θ >=sin(nθ/2)sin{(n-1)θ/2}÷sin(θ/2) >において，左辺はn=1で意味を持ちませんが， >右辺はn=1でも普通に計算でき0を与えます．質問者様の意図は >このような公式で右辺（n-1個の和の計算結果）がn=1で0にならないことが， >解析的な式で表された数列b(k)に対して存在するかということですね はい、その通りです。 しかし存在しそうもないので反例さがしは中止です。 多項式まがい以外を探していたのでsinの実例にはびっくりしました。 説得力のあるsinの実例ありがとうございます。 >(※)Σ_{k=1}^{n-1}b(k)=B(n) (n≧2) >において，和の計算結果B(n)はやはりnの解析的な式であるとしましょう． >このとき，B(1)は定義域の延長で普通に計算できます． 理解不足ですが、b(n)は解析的であるので、その自然結合のB(n)で B(1)が定義できない、例えば B(n)=1/(n-1)のようになることはない。 a(n)が、nについていろいろ場合分けしても、その結果が「なめらか」 になる、そういうa(n)ならB(1)=0となる。 本当に不思議です。 「なめらか」ですが思い浮かぶのはびっしり詰まった実数のようなものを 連想しますが飛び飛びのものでも「なめらか延長」があるのですね。 なにもかも初体験で喜んでおります。 f(n)=1+1/2+1/3+・・・+1/(n-1)=γ+Γ'(n)/Γ(n) 極限∞の収束結果ならともかく、1/0（1÷0）の矛盾が右辺の ガンマ式では傷もなく「自然に」、打ち消されるのですね。 ∞に発散する調和数列に限ってまさかの思いです。 ガンマ関数ですが、関数（数を対応させる仕組み）はいろいろあり 例えば A(n) ⇒（πの小数第n位）とか（第n番目の素数） はA(n)単独では手がだせませんがA(n)/A(n+1)と割り算にすると 見えてくるかもしれない。Γ関数はこのようなものではなく 例えば対数関数logをさかのぼっていきますと結局 実数（数）をベースにした四則演算に到達すると思います。 Γ関数はこのようなものなのですね。というか、 教えていただいた書物を入手し、ご教示いただいた多くのことを 時間をかけて勉強します。その過程で質問するかもしれません。 そのときはよろしくお願い致します。