三角不等式 (さらに疑問点があります)

質問

(1)三角不等式cos2x+7cosx-3≦0　(0゜≦x≦360゜)を解け。
2cosx^2+7cosx-4≦0
(2cosx-1)(cosx+4)≦0　・・・※
ここでcosx+4＞0より、
cosx≦1/2
よって60゜≦x≦300゜

以前、cosx+4＞0になることについて質問させてもらいました。
(http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1053703)

その続きなんですが、また新たな疑問点だでてきました。
cosx+4＞0と常になるのはわかりましたが、今度は2cosx-1についてです。
これはcosx=-1～1より、この間の数字をいれると、2cosx-1はプラスの値もマイナスの
値もとれることになりますよね。
なのに、常にマイナスとなるのはどうしてでしょうか？

(2cosx-1)(cosx+4)≦0
を満たそうと思えば、片方がプラスで片方がマイナスにならなくてはいけませんよね？
それで、cosx+4は常にプラスだとわかった。
なので、2cosx-1は常にマイナスとなる。

ということは、2cosx-1は、これがマイナスになるようなxの値しかとらない
ということでいいのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.8

poteta · ベストアンサー

補足です。

>今度は2cosx-1についてです。
>これはcosx=-1～1より、この間の数字をいれると、2cosx-1はプラスの値もマイナスの
>値もとれることになりますよね。
>なのに、常にマイナスとなるのはどうしてでしょうか？

2cosx-1が常にマイナスになるのではありません。常にマイナスになるようにxを選ぶのです。
プラスになったり，マイナスになったりするので，最初の式を満たすのはxの値がどんな値のときですか？っていう問題なのです。

お礼

そういうことなんですね。
わかるようになりました。
最初はプラス？マイナス？なんて思ってましたが、
理由がわかるようになり、スッキリです。

ありがとうございました。

回答No.7

poteta

>(2cosx-1)は常にマイナスという条件に外れているのでは？
>と思ったんです。

その通りです。(2cosx-1)はおっしゃられるように＋であったり－であったりします。
したがって，
>これがマイナスになるようなxの値しかとらないということ・・・

マイナスになるようなxの値しかとらないのではなく，どちらも有り得るので，マイナスになる値だけを選ぶのです。
それが答えの60゜≦x≦300゜になるわけです。
0～60，300～360はプラスになるので除外。

お礼

＞どちらも有り得るので，マイナスになる値だけを選ぶのです。

なるほどです。そうだったんですね。
なかなか気付かなかったので、ここで
質問してみてよかった～！

ありがとうございました。

回答No.6

noname#8027

問題文
↓変形
↓
「2cosx-1≦0　となるようなｘを求めなさい」

という問題に表現を簡単にしていった、ということです。

例えば、「２ｘ＋３ｘ＝１０となるｘを求めなさい」
という問題と、
「５ｘ＝１０となるｘを求めなさい」
という問題では、求めるｘは同じですね？

お礼

おお～！それには気付きませんでしたが、そういう
ことだったんですか。
なんか感動してしまいました。

ありがとうございました。

回答No.5

DC1394

何度も申し訳ありません。

＞「2cosx-1は、これがマイナスになるようなcosxの値＞しかとらないということでいいのでしょうか？」

そうです。結局おなじことになります。

つまり、2cosx-1≦0が条件ですから、
要するにcosx≦1/2ということであり、
つまり60゜≦x≦300゜になります。

お礼

何度もありがとうございます。
よりわかりやすく、お答えいただき、
理解が深まりました。

ありがとうございました。

回答No.4

DC1394

こんにちは。

＞ということは、2cosx-1は、これがマイナスになるよ
＞うなxの値しかとらない

そういうことです。そのxの値が60゜≦x≦300゜
になるということ（つまり答え）です。

お礼

なるほど、そうだったんですね。
わかるようになりました。

ありがとうございました。

回答No.3

stone_wash

何度も申し訳ありません。
ふと見直しておもったのですが、問題を違う視点からみていませんか？

「2cosx-1は、これがマイナスになるようなxの値しかとらないということでいいのでしょうか？」
「2cosx-1は、これがマイナスになるようなcosxの値しかとらないということでいいのでしょうか？」
という両方結果的には同じなのですが、なんか…

2cosx-1はたしかに、
-2≦2cosX≦+2　⇒　-3≦2cosX-1≦1
なので、2cosx-1は正も負もとりうるわけです。

しかし、今回の問題はというと、
cos2x+7cosx-3≦0
0゜≦x≦360゜
の両方を満たすようなXの値を求めるのです。

ということは（少し飛躍しますが）、
『2cosx-1が、マイナスか０になるようなcosX or Xの値でないと、題意（不等式と定義域）を満たさない』ということになります。

なんか細かいこといっている気がしますが、『しかとらない』という部分が気になったもので…
もしくは、小門違いのこといっているかもｗ

補足

説明がヘタですみません。

(2cosx-1)(cosx+4)≦0

(cosx+4)は常にプラス
(2cosx-1)は常にマイナス

だから(2cosx-1)(cosx+4)≦0を満たすことができますよね？

しかし、
2cosx-1は
cosxの範囲内-1～1の間の数字、例えばcosx=1を代入した場合、
2-1=1で2cosx-1はプラスの値をとってしまいますよね？

(2cosx-1)は常にマイナスという条件に外れているのでは？

と思ったんです。

そこで、2cosx-1が常にマイナスという条件は、例えばcosx=1という場合を
除いたときの条件なのかと思ってみたんですけど、いかがでしょうか？

回答No.2

stone_wash

いまいち補足を拝見いたしましたが、ピンと来ないのですが。

2cosx-1≦0を満たすようなcosX、ついてはXならば問題ないでしょう。

回答No.1

stone_wash

cos2x+7cosx-3≦0
0゜≦x≦360゜
を満たすXを求めよということですよね？
ならば、（私自信計算していません）
(2cosx-1)(cosx+4)≦0
となっているのですよね？

そして、『確か』なのは、cosx+4>0ということです。
これは、0≦X≦360であるばあい、-1≦conX≦+1ということより、絶対ですよね？

ということは、質問文にあるように不等式を満たすには、2cosx-1≦0を満たすXでなければなりません。

ゆえに、2cosx-1≦0且つ0≦X≦360を満たすXが解答となります。

あっているとおもいますよ。

補足

すみません、補足です。
質問文で
「2cosx-1は、これがマイナスになるようなxの値しかとらないということでいいのでしょうか？」

としましたが、質問したかったことは、

「2cosx-1は、これがマイナスになるようなcosxの値しかとらないということでいいのでしょうか？」

ということです。すみません。