証明問題で困っています。

質問

x＋［1/x］＝1/x　を満たすxが無限に存在することを示せ。
注：［］はガウス記号で、ある値を越えない最大の整数値を表す。

回答No.5

kony0 · ベストアンサー

与えられた方程式の解は、１以上である任意の整数ｎに対して、1/(n+1)<x≦1/nの範囲に１つの解を持つことがいえます。これが言えれば題意は示せる。

1/(n+1)<x≦1/nのとき、n≦1/x<n+1なので、[1/x]=n
従って、方程式x+n=1/x（x^2+nx-1=0)が1/(n+1)<x≦1/nの範囲に解を持つことを言えばよい。

f(x)=x^2+nx-1とおくと、
f(1/(n+1))=-n/(n+1)^2<0, f(1/n)=1/n^2>0のため題意は満たされる。（終）

お礼

お返事ありがとうございます。
非常にわかりやすい解答に感動しました。
シンプルでかつ、納得でした！
ありがとうございました！

回答No.4

noname#24477

補足
[1/x]が整数部分になるわけですから
ｘ＝ｔ（小数部分）は式をじっと見てれば明らかだと思いますが
＃１の人の回答からも分かると思います。
あえて書くなら

[1/x]＝ｎ
1/x＝n+t
ですから、これを問題の式に代入すれば
ｘ＋ｎ＝n+t
∴ｘ＝ｔ

また２次方程式の解の公式でｘを求めれば
その解が
ｎ≦1/x＜n+1　は確かめられるかと思います。
引き算でもしてください。
で、ごちゃごちゃ計算をしていると
そのうちみんな計算なんかしなくても「明らか」と思えてしまいましたがどうでしょう。

お礼

たびたびすみません；；
確かに、明らかでした。
もっとよく見てからお返事すればよかったです。
丁寧な解答ありがとうございました。
とっても助かりました！

回答No.3

noname#24477

下の回答で符号を間違えました。

正しくは
x^2+nx-1=0

回答No.2

noname#24477

話を見易くするためｘ＞０として
1/xを整数部分と小数部分に分けてみます。

整数部分をｎ，小数部分をｔとする。（実はｔ＝ｘになる）

[1/x]＝ｎだから

ｘ＋ｎ＝1/x
x^2-nx-1＝０　の解の正の方が求めるもの。
ｎは任意の０以上の整数なので無数にある。
これが条件を満たしているかどうかはご自分で確認
してください。

お礼

お返事ありがとうございます。

x^2＋nx-1＝０の解が、与式の解であると言うためには、解の整数部分がnと一致することを吟味する必要があると思うのですが、どうでしょうか？

あと、「実はｔ＝ｘになる」の部分にどうしても行きつけません；；

申し訳ありませんが、今一度、アドバイスいただけると有り難いです。

回答No.1

mame594

移項すると，x=1/x-[1/x]　となります．
左辺はxそのもので，右辺は1/xの小数部分になります．
今,x＞0で考えましょう．y=1/xの双曲線を書いてください．
大切なのは0＜x＜1の部分です．
y=1/x-[1/x]　のグラフはy=1/xのグラフで，x=1/2～1のところ，1/3～1/2のところ，1/4～1/3のところ，・・・を切りとって，そのままy軸下のほうに平行移動させてx軸までおろしてきたものになります．従って，0＜x＜1の間に0＜y＜1の範囲の双曲線から切り出したグラフが無数にかかれることになります．もちろん，y=xとの交点はこの間に無数に存在します．

お礼

お返事ありがとうございます。

mame594さんがおっしゃったような、図示は、私もしていたのですが、数学的な解答ということになった場合、より理詰めで納得できるような解がないものかと思い、今もいろいろと考えています。

0＜x＜1に関してのみの証明でいいと思うのですが、なかなかよい持って行き方がわからずに困っています；；