数学I 平方完成した式を対象移動するとき

質問

対象移動をするときに
教科書には
y＝ax^2＋bx＋c(一般形)を対象移動をした式に変換する方法しか
載っていないのですが、

一般形を平方完成してからの式、y＝a(x-p)^2＋q(標準形)を
対象移動した式に変換する方法はありますか？

ある場合、どこの部分にマイナスをつけたらいいのでしょうか。

回答No.5

f272 · ベストアンサー

原点に対して対称移動すると
-y＝a(-x-p)^2＋q
y＝-a(x＋p)^2－q
ということです。ほかにも
y=f(x)をy=aに関して対称に変換すれば，元の式のyを2a-yに変えればよい，なんてことも言えます。これは，変換前のyと変換後のyを足して2で割れば(要するに中点のy座標が)aになっているということから導けます。

お礼

ありがとうございます！！！

回答No.4

kiha181-tubasa

機械的にxやyの符号を変えることで簡単に答えは出ますが，本当にそれでよいのですか。
　せっかく標準形にしたのだから，頂点の座標が明らかになりましたね。対称移動したら，頂点や凹凸がどのように変わるのかを（図形的に）把握して，その新しい頂点や凹凸を使って方程式を使うと，（地に足が付いた方法になり）自分自身が意味が理解出来て「なるほど」と納得できる解答が書けると思うのですが……。

y＝a(x-p)^2＋qをy軸に関して対称移動すると，頂点が(-p,q)に変わり，それ以外は変わらないので，y=a(x+p)^2+qとなります。
y＝a(x-p)^2＋qをx軸に関して対称移動すると，頂点が(p,-q)に変わり，凹凸が逆になるのでx^2の係数の符号が変わり，y=-a(x-p)^2-qとなります。
y＝a(x-p)^2＋qを原点に関して対称移動すると，頂点が(-p,-q)に変わり，凹凸が逆になるのでx^2の係数の符号が変わり，y=-a(x+p)^2-qとなります。
さらに
y＝a(x-p)^2＋qを直線x=sに関して対称移動すると,頂点が(2s-p,q)に変わり，それ以外は変わらないので，y=a{(x-(2s-p)}^2+qとなります。
（∵対称移動した後の頂点のx座標をtとすると，sはtとpの間にあるので(t+p)/2=s, ∴t=2s-p）
という具合に，図形を参考にしながら解けます。直線y=sに関して対称移動したらどうなるかなども自分で考えてみてください。

以上が「地に足が付いた」解法でした。

お礼

ありがとうございます！
実際にグラフを書いて確かめてみようと思いますm(__)m

回答No.3

maskoto

失礼、平行移動と勘違いしました

お礼

わかりました！

回答No.2

maskoto

方法1
昨日解説した通り
x方向にs、y方向にt平行移動なら
平行移動前のxとyを
x−sとy−tに置き換えて
y−t＝a{(x−s)−p}²+q
とします
移行すれば
y＝a{(x−s)−p}²+q+tです
この方法で直線であろうと円であろうと、三次関数であろうと…平行移動の式を作る事ができるのです

方法2
x方向にs、y方向にt平行移動なら
頂点は平行移動前の(p、q)から
(p+s、q+t)に移るので
そのような頂点を持つ二次関数は
y＝a(x−頂点x座標)²+頂点y座標
より
平行移動後の式:
y＝a{x−(p+s)}²+(q+t)
と書くことができます
当然ながら、最初に導出した式と同形になります

お礼

ありがとうございます！！
参考になりますm(__)m

回答No.1

f272

x軸に関する対称移動とか，y軸に関する対称移動ですね。
x軸に関する対称移動は，元の式のyを-yに変えればよい。
y軸に関する対称移動は，元の式のxを-xに変えればよい。
例えばy＝a(x-p)^2＋qをx軸に関して対称移動すれば
-y＝a(x-p)^2＋qつまりy＝-a(x-p)^2-qになります。
y＝a(x-p)^2＋qをy軸に関して対称移動すれば
y＝a(-x-p)^2＋qつまりy＝a(x+p)^2+qになります。

お礼

いつも答えてくださってありがとうございます！！

補足

追加で質問ごめんなさい。
原点に対して対称移動すると
-y＝a(-x-p)^2＋q
y＝-a(x＋p)^2－q
ということですか？