二次関数の平方完成

質問

先程質問させて頂いた問題で回答を頂き、式の解き方は理解出来たのですが、
なぜこの問題でこの式を使えばいいと分かるのでしょうか？
「二次関数の平方完成」をネットで調べてみて、式の解き方は何となく理解出来たのですが、この「平方完成」自体どういう時に使うモノなのかがよく分かりません。
最大値や最小値を調べる時に使うものなのでしょうか？

下にその問題（添付画像）と、頂いた回答を載せます。
※２問載せてます

宜しくお願いします。

以下回答文（添付画像の問題）：

AP=x、BQ=2xとする。
QからABに垂線QHを引く。
∠B=60゜より
BH:BQ:QH=1:2:√3=x:2x:(√3)x

PH=ABー(AP+BH)=10ー2x
△PQHに三平方の定理を使い
PQ^2=PH^2+QH^2
=(10ー2x)^2+{(√3)x}^2
=100ー40x+4x^2+3x^2
=7x^2ー40x+100
=7(xー20/7)^2ー(400/7)+100
=7(xー20/7)^2+300/7

ここで(xー20/7)=A(Aは実数)とおいて、7A^2+300/7について考える。
ある実数を2乗した値は必ず0以上となるので、A^2=0のとき最小である。
すなわち、A=0ならば7A^2+300/7も最小となる。
よって
(xー20/7)=0
x=20/7(分後)
PQの最小値は
√(300/7)(cm)
でした。

以下、別の問題と回答文：

問い：
３Ｘ＋Ｙ＝６を満たすＸ，Ｙについて，
ＸＹ＋９の最大の値を求めなさい。

回答：
3x + y = 6 より y = -3x + 6
これを xy + 9 に代入すると

x(-3x + 6) + 9
= -3(x - 1)^2 + 12

したがって、求める最大値は 12。(このとき x = 1, y = 3)

回答No.2

WiredLogic · ベストアンサー

「平方完成」は、２次関数だけでなく、２次方程式など、２次式が出てくるときは、ほとんどと言ってもいいくらいに、どこでも顔を出します。モノによっては、４次式や６次式など、偶数次の式が絡むときも、２次式ほど、どこでもとはいきませんが、使われることが少なくありません。

１次式、例えば、ax+b (a≠0) だと、xが変化すれば、yはそれに伴って、プラスでもマイナスであらゆる値をとる可能性がある、それに対して、２次式、ax^2+bx+c (a≠0) は、xをどんなに変化させてもとれない値がある、という大きな違いがあります。

y = x^2 のグラフなら、解りやすいですよね。y軸について対称で(ｙ軸が対称軸で)、原点でx軸に接していて(原点が頂点で)、yがマイナスになることはなくて…、など。y = ax^2 でも、上に凸、下に凸とか、気にしないことが、ちょっと増えるけど、まぁ、似た感じで扱えますよね。

さらに、y = ax^2 + q の場合も、上にqだけズレるけど、そんなに解り難いことはない。で、この次の段階が、２次関数で、一番、自分では意識しないコけ方をしやすいところなのですが…

上の式のグラフを、右にpだけずらしたグラフの式が、y = a(x-p)^2 + q になる。教科書をよく読みなおしてくれることを期待して、これ自体の説明は省きます。

すると、y = ax^2 のグラフを、右にp、上にqズラした訳だから、頂点は(p,q)になるし、(対称)軸は、x=p になり、yはpより小さくなることはないことが解ります。つまり、y = ax^2 のグラフなら、特に難しくない、と、思ったのと、ほとんど同じくらいの情報が得られている訳です。

ちなみに、y = a(x-p)^2 + q のことを、２次関数の標準形といい、軸、頂点、最大(小)値が一目で解るようになっています。ここで左辺を良く見ると、「平方完成」した形になってませんか？　ということで、y = ax^2 + bx + c を、標準形に変形していく作業が「平方完成」で、こうすると、y = ax^2+bx+c で一目で解るのは、y軸と(0,c)で交わることくらいですが、平方完成して、標準形にすると、一目で解る情報が、元の形に比べて増える訳で、これが「平方完成」の意味。最大値・最小値を求めるときに使えるのは、どちらかというと、その結果というか、オマケみたいなものです(勿論、重要なオマケですが)

もう一つ、方程式の場合ですが…

例えば、x^2 = 3 という方程式があったとして、わざわざ移項して、a=1,b=0,c=-3で、解の公式、とかやらずに、いきなり、x = ±√3 とやりますよね。

では、(x-3)^2 = 3 と言われたらどうですか？　結構、展開して移行して…、とやる子も少なくないのですが、同じ要領で、x-3 = ±√3 だから、x = 3±√3 とやれば早いですよね。

では、本命、x^2 - 6x + 6 = 0 なら？　今度こそ解の公式、でも十分ですが、気付くことができたら、両辺に3を足して、
x^2 - 6x + 9 = 3 ⇔ (x-3)^2 = 3 から、上のようにやれば、ある意味、最速。　この解き方のことを、左辺が２乗の形ではないのに、無理矢理２乗(平方)の形を作り上げて、解くので、やはり「平方完成」による解法といいます。

実は、解の公式自体が、ax^2 + bx + c = 0 を、「平方完成」によって解いた、結果の形な訳です。

ということで、「平方完成」というのは、問題の解き方として、暗記しなければいけない技術、というレベルの話ではなく、これだけでどんな問題でも解ける魔法の手法という訳にはいきませんが、２次式で、式から読み取れる情報量が少ないとき、情報量を増やすために、まず第一に試してみないといけない、２次式の本質と切っても切れない関係にある技だ、ということです。

お礼

ご丁寧な回答有難う御座います！

この文だけでは理解出来ない部分もありましたが、ちゃんと教科書や参考書を読んで勉強したい気持ちになれました。
数学楽しいですね。勉強続けます。

どうも有難う御座いました！

回答No.3

mister_moonlight

＞この「平方完成」自体どういう時に使うモノなのかがよく分かりません。
＞最大値や最小値を調べる時に使うものなのでしょうか？

まぁ、そういうように考えても間違いではない。
事実、最大値・最小値を求める時に使われる場合が多い。

1次関数(＝直線)の場合は、閉区間(変数の両端が含まれる、つまり、両端に等号がついてる場合)の両端で最大値・最小値を取る。
3次関数以上は、主に微分を使う場合が多い。必ずしも微分を必要としない場合もあるが。

2次関数は、平方完成してグラフを描き、与えられた区間で最大値・最小値を考える。
そうする事が、視覚的にも考えやすいから。
上の問題でも平方完成しないで判別式でも解けるが、やはりメインは平方完成だろう。

お礼

三次関数、微分。。聞いた覚えはありますが、どんなだったか。。。
数学は勉強すればする程新しい事が出てきて退屈しませんね。
今、試験勉強のために中三～高一頃の問題を解いてるんですが、試験が終わってもはまりそうです。

回答有難う御座いました！

回答No.1

gohtraw

ある二次関数ｆ（ｘ）が
ｆ（ｘ）＝ａ（ｘ－ｂ）＾２＋ｃ
と平方完成できるとき、直接的に判るのは（グラフにした時の）頂点の座標です。（ｂ、ｃ）になります。ａが正の場合、ｆ（ｘ）はｘ＝ｂの時最小値ｃをとり、ａが負の場合ｘ＝ｂのときｃがｆ（ｘ）の最大値です。従ってご質問中の「最大値や最小値を調べる時に使うもの」というのは正しいといえます。但し、頂点を含まないｘの範囲での最大、最小値は（当然ながら）頂点とは一致しません。
　これ以外にも判ることはあって（最大、最小値と関連してはいるのですが）、たとえば上記の関数でａ，ｃがともに正であればこの関数のグラフはｘ軸よりも上にある、つまりｆ（ｘ）＝０という二次方程式は実解を持たないということが判ります。ａ，ｃがともに負の場合もｆ（ｘ）＝０は実解を持ちません。ｃ＝０であればｆ（ｘ）＝０は重解をもちます。
　また、例えばｂが正の場合、正の実数ｔについてｆ（ｔ）＜ｆ（－ｔ）が成り立つなんてことも判ったりします。

お礼

有難う御座います！
正直、後半部分はあまり理解出来ませんでしたが、最大値や最小値だけではないんですね。
勉強しがいがありそうです。
もう一度、ちゃんと勉強してみます。