算数：2つの正方形をつないだ図の面積問題

質問

以下の図形問題について、解法を箇条書きでも構わないので教えていただけると幸いです。

下図は同じ大きさの2つの正方形、ABCDとDEFGであり、∠CDE=60°となります。
BDの延長線とGFとの交点をHとした時BH=12となります。
この時、□ABCDの面積はいくつでしょうか?

尚、この問題は三角関数や二次方程式、√などを使わずとも
中学受験算数で学ぶ範囲で解けるものとされているようです。

自分の方で考えた限りでは
△DCEは正三角形となるためBC=CE=EFとなり、
∠BCE=∠CEF=150°となることから、これは正十二角形の一部になりうると考えました。
そこで、ADGを辺に持つ正六角形の周りに正方形をつけ足すことで正十二角形を作図したところ
BHの延長線が正十二角形の点の1つに交わることが分かりました。
ですが、そこから先に進まず詰まっています。
どなたか正解の解法をご教示いただければ幸いです。

回答No.18

f272 · ベストアンサー

#16で書いたことを少し修正。BHを対角線とする正方形を描く。
BからFに直線を描き、正方形の一辺との交点を図に示すようにZとする。
赤い三角形は、赤枠の正三角形と各辺が平行なので、正方形になる。
青い三角形は直角と60度、30度の角がある三角形になる。
青い三角形を180度回転させると、緑枠の三角形になり、斜辺を共通にしているので、辺がDを通ることも簡単に示せる。
あとは#16で書いたことと同じです。

お礼

別解の修正案どうもありがとうございます。
おかげさまで、青い三角形が30°，60°，90°の直角三角形になることは得心しました。
青い直角三角形の90°の点をPとすると、PZ=ABであることもしくは∠CDZ=90°が示せれば
青い直角三角形を180°回転させたものと△ABZがぴったり一致し、
そこからはすでに教えていただいた方法で解き進めることができますね。
おかげさまで、小学生でも解ける解法の大筋をつかむことができました。
この質問も大分長くなってしまったことですし、こちらをベストアンサーとして閉じたいと思います。
こちらの質問に対し根気よくお付き合いいただきどうもありがとうございました！

回答No.17

Nakay702

オリンピック観戦の合間に覗いてみましたら、まだ開いているのを知って、再度（気まぐれ）投稿する気になりました。

① Dを通り、CEに平行な直線を引き、AB、BFとの交点をそれぞれJ、Kとし、Dを中心に直線BHが時計回りしてJKに重なるまでの状況を考えます。
② BDが対角線であること、およびAB、GFが八の字型に(60°/2＝30°ずつ）末広型に開いていることによって、JDはBDより伸び、DKはDHより縮みます。
③ その数値は、母線の傾きを基準に推計すると、DKはDHの1/6ほど短くなり（6.25→5.25）、JDはBDの12/1ほど長くなります（5.75→6.25）。
④ そこで、△AJOは直角三角形ですから、DK²＝AD²＋AK²、数値上では、5.25²＝4.9²＋1.9²となります。そして、◇ABCDの面積は、4.9²＝24.01となります。

ただし、これらの数値（特に、JDやAJの長さ）は、かなり怪しいです。∠ADJを約20°とみなしてしまったからですが、実際の図面で計ってみると30°となるようです。
そうすると、DKは5.6くらいになりますが、細かい計算はしておりません。原理的には間違っていないと思いますので、できれば、piyoさんが計算なさってみてください。
（ただ、AD＝4.9だけは動かせないように思います。）

以上、中途半端ですみませんが、中間（的）報告申し上げます。

お礼

こちら、お礼の返信が遅くなりましてすみません。
気まぐれとのことではありますが、反応をいただけて嬉しいです。
他の方の回答も合わせて鑑みると答えは24のようなので、
AD^2＝4.9^2=24.01というのはかなり近い値ですね。

回答No.16

f272

進展がないようなので，別案を考えました。
BHを対角線とする正方形を描きます。ADを延長して正方形と交わる点をZとします。
三角形ABZは30-60-90の直角三角形ですので，ABを1辺とする正方形の面積は，AZを1辺とする正方形の面積の1/3になります。AZを1辺とする正方形の面積は12*12/2=72ですので，ABを1辺とする正方形の面積は72/3=24です。

お礼

別解ありがとうございます。
こちらの解法はスッキリしててとても分かりやすいです！
この解法で回答の記述を試みようとしたのですが、
△ABZの∠ABZ=60°もしくは∠AZB=30°をどのようにして導くか、
ずっと考えているのですが、そこで詰まってしまいました・・・
作図すると∠ABZ=60°であることは確かであり、
この解法に誤りはないということは分かってはいるのですが・・・
せっかく何度も教えていただいているのに、理解が追い付かず申し訳ありません

回答No.15

f272

> あとは∠BJD=45°か∠BDJ=45°のいずれかを示すことができれば
△JKDの外接円の中心がＢと導くことができそうだと分かりました！

△JKDの外角DKHが45度ですよ。だから劣孤JDに対する円周角は45度です。添付図は一般的な関係です。

お礼

分かりやすい図も合わせてのご説明ありがとうございます！

>劣孤JDに対する円周角は45度です。
はい、ここは私も同じ認識なので安心しました。

ただ、弧JDの円周角=45°が分かっても
∠BJDや∠BDJは弧JDの円周角と等しいとは限らないので
∠BJDや∠BDJをどう求めればいいのかな、と考えてる次第です。

こちらの説明が分かりづらいかもですね・・・すみません。

回答No.14

濡れ猫のミコ（@nurenekonomiko）

HからDFに垂線を下ろし、その交点をJ とすれば、
DF＝DJ ＋JF　・・・①
∠HDJ ＝３０°、∠FHJ ＝４５°　なので、
DJ ＝DHｘ√３／２
JF ＝JH＝DH/２
これらを①に代入して、
DF＝DHｘ√３／２＋DH/2 ＝(√3＋1)/2 x DH

DH＝12－BD＝12－DF＝12－(√3＋1)/2 x DH
故に、DH＝12 x 2/(√3＋3)
＝24(3ー√3)/6 ＝4(3－√3) ・・・②

BD＝√2 x AB なので、
四角形ABCDの面積は、ABの2乗＝BDの2乗/2 ＝(12－DH)の2乗/2
②を代入して、求める面積＝(4√3の2乗)/2　＝24 ・・・（答）

お礼

ご回答ありがとうございます。
△HDFをベースに解いていくのですね。
小学生向けの問題なので、うまいこと√を使わない解法がみつかればいいのですが・・・
その辺りを解決できれば△HDFから解くやりかたでいけそうな気がします。
何かいい解法がないか考えてみます。

回答No.13

f272

いずれも7/27 13:16の投稿に添付された画像をもとにしたものですが，点の記号を書き間違えていました。以下が正しいです。
三角形JKDの外接円を想定すれば、角JKDは135度ですので劣孤JDに対する円周角は45度で、角JBDが90度であることを考えると、三角形JKDの外接円の中心はBになるという説明でいかがでしょうか?

お礼

ご説明ありがとうございます。
おかげさまでどのような形を指しているかを理解することができました。
∠JBD=90°なので、あとは∠BJD=45°か∠BDJ=45°のいずれかを示すことができれば
△JKDの外接円の中心がＢと導くことができそうだと分かりました！

∠BJD=45° や∠BDJ=45°の求め方について、
現時点ではまだつかめてませんが、自分の方でも考えてみます。

そこがクリアできたら、あとは先日ご教示いただきました
△JBHの三角形の辺の関係を使って解けそうです。ありがとうございます！

回答No.12

f272

三角形JKDの外接円を想定すれば、角JKDは135度ですので劣孤JBに対する円周角は45度で、角JADが90度であることを考えると、三角形JKDの外接円の中心はAになるという説明でいかがでしょうか?

お礼

毎度ご説明どうもありがとうございます。
ここでの”三角形JKD”、”劣弧JB”、”角JAD”というのはいずれも7/27 13:16の投稿に添付された画像をもとにしたものということでよろしいでしょうか?
そうなると、「角JKDは135度」というところは同じ認識です。
ただ、三角形JKDの外接円はBを通ることがないため”劣弧JB”が分からず、
「角JADが90度」と書かれていますが、∠JAD=90°にはならないと考えられ、
「三角形JKDの外接円の中心はA」とありますが、
∠JAD=90°にはならないため、これも違うように見受けられます。

そのため、おそらくはいずれかの記号が図のものとは違うのかな?と思ったのですが
どの位置の点がどの記号であるか推測が立たず・・・
何度もお付き合いいただいてるところ恐縮ですが、
このあたりについて改めて教えていただいてもよろしいでしょうか?
よろしくお願いします。

回答No.11

f272

KはJHの中点として決定するのではなく、EDを延長した線がJHと交わる点として決めるべきでした。
そうすると三角形KDHは30度-45度‐105度の三角形になり、三角形BDKがBD=BKにの二等辺三角形であることは簡単です。そうすると三角形JBKは実は正三角形ということがわかります。
30度-60度‐90度の直角三角形で斜辺の長さは最短辺の長さの2倍になることから、あとはすでに記述したとおりです。

お礼

再びご回答ありがとうございます。
△KDHのほうから確定していくとのことで了解です。
ただ、その後「三角形BDKがBD=BKの二等辺三角形であることは簡単です」とされていますが、
申し訳ないことに、ここが私にはわかりませんでした。
△KDHの各内角は確定していることが前提なので∠KDB=75°であることは分かります。
ただ、△BKDに関する情報はこれ以外には読み取れず、
他にどの情報を確定させてから△BKDが二等辺三角形であると導き出すのかが分からず・・・
度々申し訳ありませんが、この点についてご教示いただければ幸いです。

回答No.10

f272

図に示すように三角形JBHを作ります。30度60度90度の直角三角形です。またKはJBの中点です。
このとき角DBK=30度、角BDK=75度になりますので、三角形BKDはBD＝BKの二等辺三角形です。したがってJB=BK=BDは正方形の対角線の長さに等しいです。
さて(JBを一辺とする正方形の面積)と(BHを一辺とする正方形の面積)を足せば(JHを一辺とする正方形の面積)になりますが、JH=JBの2倍ですので
(JHを一辺とする正方形の面積)=(JBを一辺とする正方形の面積)の4倍
となって
(BHを一辺とする正方形の面積)=(JBを一辺とする正方形の面積)の3倍
(BHを一辺とする正方形の面積)*(1/3)=(JBを一辺とする正方形の面積)
(BHを一辺とする正方形の面積)*(1/3)=(BDを一辺とする正方形の面積)
(BHを一辺とする正方形の面積)*(1/6)=(ABを一辺とする正方形の面積)
になります。これで
(ABを一辺とする正方形の面積)=12*12/6=24
ということが分りました。

お礼

再びご回答ありがとうございます！
三角関数やルートを使わない解法なので助かります。
ただ、一部理解できなかったところがあるのですがよろしいでしょうか?

＞このとき角DBK=30度、角BDK=75度になりますので
とありますが、∠BDK＝75°というのはどのようにして導き出すのでしょうか?
結果からみれば∠BDK=75°でつじつまが合うため正しい値なのはわかるのですが、
この時点でどう導き出すのかなと思いまして・・・。
度々すみませんが、よろしくお願いします。

回答No.9

gamma1854

すみません。うっかり計算ミスをしました。
x/(12 - √2 *x) = (√3 + 1)/(2√2).
これより、
x = 2√6,
となり、正方形のめんせきは24となります。求める面積が整数になりますので、補助線をひくなどの操作により中学入試に出題されたのですね。
大変失礼しました。

お礼

訂正のお知らせありがとうございます。
x=2√6からの、正方形の面積=24になるとのことで承知しました。

回答No.8

f272

45度の直角二等辺三角形と30度-60度の直角三角形を作る
辺の長さの比は図に記入した通り
与えられているのは，1+√3+2に対応する長さが12ということである。つまり相似比は12/(1+√3+2)=12/(√3(√3+1))
正方形の面積は(√3+1)^2*(1/2)になるので，これに対応する面積は
(√3+1)^2*(1/2)*12^2/(3*(√3+1)^2)=24

√3というのをぼやかして書けば何とか小学生向き？

お礼

ご回答ありがとうございます。
□DEFGの中にも対角線を引いて作った30°105°45°の三角形は
確かに中受算数でも見かける形ですね。
おっしゃる通り中受算数では√3を√3として計算式に組むことは出来ない
(言い換えれば、a^2=3など、二乗の形のまま計算することはしばしばある)ので
その辺りが解決できればいいのですが・・・
でも、この三角形をとっかかりに何か解法を導けないか考えてみたいと思います。