正となることを証明したい

質問

θ1が 0<θ1<π/2 ，θ2が θ1<θ2<=π/2 という範囲をとります．
このとき，
f1=(log X1)/2 - cosθ1 > 0 となります． また，
f2=(log X2)/2 + cosθ2 < 0 となります．

X1とX2はそれぞれ
X1=(1+cosθ1)/(1-cosθ1)
X2=(1 - cosθ2)/(1+cosθ2) です．

f1+f2 が常に正となることを証明したいです．

計算ソフトなどで確認するとそうなっていることは分かりました．
どうゆう考え方をすればいいですか？
よろしくお願いいたします．

回答No.1

gamma1854 · ベストアンサー

0<θ1<θ2≦pi/2 とし、
f1(θ1) = log{(1+cos(θ1))/sin(θ1)} - cos(θ1),
f2(θ2) = log{(1-cos(θ2))/sin(θ2)} + cos(θ2).
であるから、
(d/dθ1)f1(θ1) = -{cos(θ1)}^2/sin(θ1)<0, より、f1(θ1)は狭義の単調減少で, 常に正です。
ー－－－－－－－－－－
また、f2(θ2) = log{(1-cos(θ2))/sin(θ2)} + cos(θ2), に対し、
-f2(θ2) = f1(θ2) となるゆえ、
f1(θ1) > f1(θ2) から、
f1(θ1) + f2(θ2) > f1(θ2) + f2(θ2) = 0.
すなわち、f1(θ1) + f2(θ2) は常に正です。(終わり)

お礼

回答ありがとうございます。
大変参考になりました。
自分でももう一度考えてみようと思います。

回答No.2

gamma1854

グラフを添えます。上が f1, 下が f2 です。