至急教えて頂きたいです、数学Ⅰ•Aです

質問

円Oに内接する四角形PQRSにおいてPQ＝QR＝1、QS＝√7、SP＝2とする。

⑴辺RSに長さを求めなさい

⑵四角形PQRSの面積Xを求めなさい

⑶円Oの面積はXの何倍となるかを求めなさい、ただし円周率をπとする

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

∠QPS = θとする。
△PQSで余弦定理より
cosθ = (1^2 + 2^2 - 7) / (2 * 1 * 1) = -1/2
∴θ = 120°
四角形PQRSは円に内接しているから、∠QRS = 60°
RS = xとすると、△QRSで余弦定理より
7 = 1^2 + x^2 - 2・1・x・cos60°
x^2 - x - 6 = 0, (x + 2)(x - 3) = 0
xは三角形の辺であるからx > 0ゆえ、x = 3
∴RS = 3

四角形PQRS = △PQS + △RQS = (1/2)・1・2・(√3/2) + (1/2)・1・3・(√3/2)
= 5√3 / 4
∴X = 5√3 / 4

円Oの半径をRとすると、△RQSの外接円が円Oだから、正弦定理より
√7 / sin60° = 2R
∴R = √(7/3)
∴円Oの面積 = 7π/3
∴求める倍率 = (7π/3) ÷ (5√3 / 4) = 28√3・π/45

お礼

とても丁寧で分かりやすかったです！とても助かりました！ありがとうございました！