中3の数学の問題が分かりません

質問

下の写真の図の時、
1)PQ、QR、RSをそれぞれaを用いて表せ
2)a=7/11cmの時、対角線の交点をoとし、三角形OQRの面積の台形ABCDの面積に対する比の値を求めよ

と言う問題です。
どうしてもわからないので、説明付きでご回答よろしくお願いします

回答No.3

akinomyoga · ベストアンサー

「線分 PS と BC が平行である」という前提がないと求められませんので、その様な前提が問題文中に書かれていると想定します。

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あと、台形が左右対称である事は仮定しなくても解けますので、問題文中にも左右対称の前提は指定されていないのではないでしょうか。

(「問題文の設定だけでは左右対称である事を否定できない(P1 無矛盾性)」事と「中3の数学の問題には必ず一意的な答えがあるに違いない(P2 解の存在性・一意性)」という事を使うと「左右対称を仮定しても正しい答えが得られる」という事が演繹できますが、「中3の問題には答えがあるはず(P2)」 という事を問題を解くのに利用するのは反則じゃないですかね。)
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(1)

PQ を知りたい→
△ABD ∽ △PBQ より PQ:PB = AD:AB。よって PQ = (10/7) a [cm]■。

QR を知るために PR を知りたい→
△ABC ∽ △APR より PR:PA = BC:BA。よって PR = (12/7) (7-a) [cm]。
QR = PR - PQ = 12 - (22/7) a [cm]■。

RS を知りたい→
△ADC ∽ △RSC より RS:AD = CR:CA。
△ABC ∽ △APR より RA:CA = PA:BA。
よって RS:AD = CR:CA = BP:BA = a:7、
RS = (10/7) a [cm]■。

(2)

a = 7/11 [cm] なので QR = 12-(22/7)(7/11) [cm] = 10 [cm]。

まず △OQRと△OBCの関係を知りたい→
△OQR∽△OBC より △OQR : △OBC = QR^2 : BC^2 = 5^2:6^2。 (a)

次に△OBCと△ABCの関係を知りたい→
△OBC∽△ODA より CO:AO = CB:AD = 6:5。
よって △OBC : △ABC = CO:CA = CO:(CO+AO) = 6:11。(b)

△ABCと□ABCDの関係を知りたい→
△ABC : □ABCD = △ABC : (△ABC+△ACD) = BC:(BC+AD) = 6:11。(c)

(a), (b), (c) を繋げると、
△OQR : □ABCD = (5^2/6^2)(6/11)(6/11) = 5^2/11^2 = 25:121■。

お礼

ご回答ありがとうございました。
返事が大変遅くなってしまい申し訳ありません。

回答No.2

toshih2000

この台形が左右対象だとして道筋だけ回答します。

三角形ABDを考えたとき
PQ:10=a:7 となることはよろしいですかね?
これより、

PQ=(10/7)a

となります。

つぎに、線分QR を求めるために線分PS を求めます。
多少応用が必要ですが

PS = 12 - (2/7)a

となります。

この二つの式があれば (1) は簡単に求められますよね。
また、点O の位置は

PS=2PQ

と考えれは、わかりますよね。

あとは、線分PS から 点O までの高さを求める必要があります。

そもそも、この台形の高さはわかりますか?

角Aから辺BCに垂線を下ろした点 を X としたとき BX の長さは 1cm ですよね。
三角形ABX を考えた時に、三平方の定理により
7^2 = (AX)^2 + 1^2

なので、AX=√(7^2-1) = 4√3

ついでに、PSの高さは 7:a=4√3:(PSの高さ)
となるので

PSの高さ=((4√3)/7)a

ここまでわかれば解けますよね。

お礼

ご回答ありがとうございました。
返事が大変遅くなってしまい申し訳ありません。

回答No.1

yyssaa

＞写真の図の説明文が切れているので解けません。

お礼

ご回答ありがとうございました。
返事が大変遅くなってしまい申し訳ありません。