高校数学の三角形の辺の長さの問題です 3-12

質問

3角形の2辺の長さがa,bで外接円の半径がrであるとき、第三辺の長さを求めよ、ただしa<b<2rとする

解説は図のようにα、β、ｘを設定する(βは鋭角と鈍角の2つの場合が考えられる)と正弦定理によりa=2rsinα　b=2rsinβ　x=2rsin(π-α-β)=2rsin（α＋β)

=2rsinαcosβ+2rsinβcosα=acosβ+bcosα=±a√(1-b^2/4r^2)+b√(1-a^2/4r^2)となっていたのですが

acosβ+bcosα=±a√(1-b^2/4r^2)+b√(1-a^2/4r^2)の所で

acosβ+bcosαから±a√(1-b^2/4r^2)+b√(1-a^2/4r^2)への変形が分かりません、宜しくお願いします

後は画像のβが2つありますが、これは鋭角と鈍角という意味でしょうか？そうでしたらどちらが鋭角で、鈍角なのか教えてください

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

>後は画像のβが2つありますが、これは鋭角と鈍角という意味でしょうか？
その通り、βは、鋭角、鈍角、直角の３つの場合がありえます。

>どちらが鋭角で、鈍角なのか教えてください
画像のβは鋭角の場合、（β）は鈍角の場合の図になります。

>acosβ+bcosαから±a√(1-b^2/4r^2)+b√(1-a^2/4r^2)への変形が分かりません、

0<a<b<2rより　0<α<π/2[rad]、α<β<π[rad],
b=2rsinβより sinβ=b/(2r)
a=2rsinαより sinα=a/(2r)

x<bのとき
bが最大辺となるので、対角のβが最大角となります。
最大頂角であるβは、鋭角、直角、鈍角の３つの場合があります。

βが鋭角、直角の場合
　cosβ≧0なので
　cos^2(β)=1-sin^2(β)=1-(b/2r)^2
　cosβ=√(1-b^2/(4r^2))
　αは鋭角なので　cosα>0
　cosα=√(1-sin^2(α))=√(1-a^2/(4r^2))
　∴acosβ+bcosα=a√(1-b^2/(4r^2))+b√(1-a^2/(4r^2))

βが鈍角の場合
　cosβ<0なので
　cos^2(β)=1-sin^2(β)=1-(b/2r)^2
　cosβ=-√(1-b^2/(4r^2))
　αは鋭角なので　cosα>0
　cosα=√(1-sin^2(α))=√(1-a^2/(4r^2))
　∴acosβ+bcosα=-a√(1-b^2/(4r^2))+b√(1-a^2/(4r^2))

b≦xのとき
ｘが最大辺となるので、xの対角が最大角となります。
このときβは、鋭角となります。βより小さなαは鈍角です。
したがって
　cosβ＞0なので
　cos^2(β)=1-sin^2(β)=1-(b/2r)^2
　cosβ=√(1-b^2/(4r^2))
　αは鋭角なので　cosα>0
　cosα=√(1-sin^2(α))=√(1-a^2/(4r^2))
　∴acosβ+bcosα=a√(1-b^2/(4r^2))+b√(1-a^2/(4r^2))

以上まとめると

acosβ+bcosα=±a√(1-b^2/(4r^2))+b√(1-a^2/(4r^2))

となります。

お分かり？

お礼

御返答有難うございます

補足

>b≦xのとき,βより小さなαは鈍角です
αは鋭角ですよね？

回答No.2

info222_

No.1です。

ANo.1の補足の質問の回答

ご指摘の通り鋭角です。

誤：このときβは、鋭角となります。βより小さなαは鈍角です。
正：このときβは、鋭角となります。βより小さなαは鋭角です。

なぜか、ここの行でだけ、ミスったようです。訂正させていただきます。

お礼

御返答有難うございます

補足

了解しました、分かりやすい解説有難うございました、助かりました