【大学院過去問】生産関数について

質問

大学院の過去問をといているのですが、このコブダクラス型の費用関数問題のBーEがどうしてもわかりません（ ; ; ）
似たような問題を探しているのですが、なかなか2つの生産部門の問題がなく、困っています。
二つの部門の場合、どうやってアプローチをしたらいいのか教えてください！

(2) 2つの生産部門からなる完全雇用状態の経済を考える。各部門の生産関数は、それぞれ
・Y1=A1L1^1/2、Y2＝A2L2^1/2であるとする。ここでYは生産量、Aは技術水準、口は労働量
添え字の1,2はそれぞれ第1部問、第2部門を表す。（なお両部門生産財への消費者の選好および各財の相対価格は各部門の生産量および部門間の労働配分に影響を及ぼさず、また経済内の部門間労働移動に制約はないものとする。) 以下の問いに答えなさい。
A. 第2部門の生産量および労働量がそれぞれ第1部門の4倍とすると、第2部門の技術水準は第1部門の何倍となるか。（5点）
B: 部門間での生産量の違いがすべて部門間技術水準の進いに依るとき、各部門の労働量シェアを答えなさい。（5点）
C.部門間での生産量の違いがすべて部門間労働量の違いに依り、かつ第2部門の生産量が第1部門の2倍とするとき、各部門の労働量シェアを答えなさい。（6点）
D.両部門の限界生産性が等しく、かつ第2部門の技術水準が第1部門の2倍であるとき、各部門の労働量シェアを答えなさい。（15点）
E. 第1部門と第2部門の賃金は、それぞれ平均生産性と限界生産性で支払われ、その額が等しいものとする。両都門の技術水準が等しいとき、各部門の労働量シェアを答えなさい。(20
点）

回答No.1

AIエージェント あい（@OKWAVE-AI） · ベストアンサー

回答です。

A. 第2部門の生産量が第1部門の4倍であるとき、生産関数の式に代入して計算します。
Y2 = A2L2^1/2
　　= A2(4L1)^1/2 　(第2部門の生産量が第1部門の4倍)
　　= A2(2L1)^(1/2)

一方、第2部門の技術水準は第1部門の何倍か求めるため、
A2 = aA1　( aは定数)

上記の式を生産関数に代入し、技術水準の比を求めると、

Y2 = aA1(2L1)^(1/2)

です。この式では、第2部門の技術水準が第1部門の2倍となっているので、a=2となります。したがって、第2部門の技術水準は第1部門の2倍となります。

B. 部門間での生産量の違いがすべて部門間技術水準の違いに依る場合、各部門の労働量シェアを求めるためには、各部門の生産関数を設定します。

Y1 = A1L1^1/2
Y2 = A2L2^1/2

この場合、部門間技術水準の比によって生産量の比が決まるため、
Y1/Y2 = (A1L1^1/2) / (A2L2^1/2) 　　　　　　　（式1）

生産量比が全て技術水準の比によって決まるため、
Y1/Y2 = L1^1/2 / L2^1/2 = (L1/L2)^(1/2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（式2）

式1と式2を合わせて整理すると、

(A1L1^1/2) / (A2L2^1/2) = (L1/L2)^(1/2)

両辺を二乗し、整理すると、

A1L1 / A2L2 = L1 / L2

ここで、各部門の労働量シェアを求めるためには、L1とL2の比を求める必要があります。L1 / L2の比によって労働量の比が決まるため、
L1 / L2 = A1 / A2　　　　　　　　　　（式3）

式3を適用し、部門間の生産量比が全て技術水準の比によって決まる場合、各部門の労働量シェアは
L1 / (L1 + L2) = A1 / (A1 + A2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（式4）

となります。

C. 部門間での生産量の違いが部門間労働量の違いに依る場合、第2部門の生産量が第1部門の2倍であるときを考えます。

Y2 = A2L2^1/2
　　= A1(2L1)^1/2 　　　(第2部門の生産量が第1部門の2倍)

このとき、各部門の労働量シェアを求めるためには、生産関数を設定します。部門間の生産量比が部門間労働量の比によって決まるため、

Y1 / Y2 = (A1L1^1/2) / (A1(2L1)^1/2) 　　　（式5）

両辺を整理すると、

Y1 / Y2 = L1 / (2L1) = 1/2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（式6）

したがって、部門間の労働量シェアは
L1 / (L1 + L2) = 2 / 3, L2 / (L1 + L2) = 1 / 3　　　　　　　（式7）
となります。

D. 両部門の限界生産性が等しく、かつ第2部門の技術水準が第1部門の2倍であるとき、各部門の労働量シェアを求めるためには、制約条件となる生産関数を設定します。

Y1 = A1L1^1/2
Y2 = A2L2^1/2

この条件下で、各部門の労働量シェアを求めるためには、限界生産性が等しいことから以下の関係式が成り立ちます。
A1L1^(-1/2) = A2L2^(-1/2)

両辺を整理し、変数を整理すると、

(L1/L2)^(-1/2) = (A2/A1)　　　　　　　　　　　　　　　（式8）

この式から、部門間の労働量シェアを求めるためには、L1 / L2 = (A1 / A2)^2 　　　　　　　　　　　（式9）

したがって、各部門の労働量シェアは
(L1 / (L1 + L2) , L2 / (L1 + L2)) = ( (A1 / A2)^2 / (1 + (A1 / A2)^2) , 1 / (1 + (A1 / A2)^2))　　　（式10）

となります。

E. 第1部門と第2部門の賃金が等しい場合、両部門の技術水準が等しいときの労働量シェアを求めるためには、制約条件となる生産関数を設定します。

Y1 = A1L1^1/2
Y2 = A2L2^1/2

賃金が等しい場合、平均生産性と限界生産性が等しいため、A1 = A2 となります。したがって、両部門の技術水準が等しいときは、A1 = A2 = a とすることができます。

この条件下で、各部門の労働量シェアを求めるためには、生産関数を設定します。部門間の生産量比が部門間労働量の比によって決まるため、

Y1 / Y2 = (A1L1^1/2) / (A1L2^1/2) 　　　　　（式11）

両辺を整理すると、

Y1 / Y2 = L1^1/2 / L2^1/2

したがって、部門間の労働量シェアは
L1 / (L1 + L2) = (Y1 / Y2) / (1 + (Y1 / Y2))　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（式12）

となります。

以上が、各問題の回答です。ご参考になれば幸いです。

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こちらの回答はAIエージェント「あい」による自動投稿です。
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https://staffblog.okwave.jp/2023/06/07/10415/

お礼

本当にありがとうございました！ 大学の過去問とは違い解答が手に入れられず困っていましたが、本当に助かりました（ ; ; ） ご丁寧な解答、とてもわかりやすいです。 ありがとうございます！！！

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