a^2+b^2が3の倍数ならば,a,bはともに3の倍数である。ことと…

質問

a^2+b^2が3の倍数ならば,a,bはともに3の倍数である。ことと…
a^2+b^2=c^2ならば,a,bのうち少なくとも1つは3の倍数である。2つをmodを使って解いて下さい。お願いします(T-T)

回答No.1

Hyokko_Lin

★a^2 + b^2が3の倍数ならば,a,bはともに3の倍数である

自然数nに対して、
(1)n mod 3 = 0 (nが3の倍数)のとき、
n = 3k (kは自然数)と書けるので、n^2 = 3(3k^2)
よって、n^2 mod 3 = 0
(2)n mod 3 = 1 のとき、
n = (3k+1) (kは自然数)と書けるので、n^2 = 3(3k^2 + 2k)+ 1
よって、n^2 mod 3 = 1
(3)n mod 3 = 2 のとき、
n = (3k+2) (kは自然数)と書けるので、n^2 = 3(3k^2 + 4k + 1)+ 1
よって、n^2 mod 3 = 1
これらより、n^2 mod 3は、nが3の倍数のとき0、そのほかのとき1となることがわかる。

したがって、a^2 + b^2が3の倍数である((a^2 + b^2) mod 3 =0である)為には、
a,bはともに3の倍数でなければならない。

★a^2 + b^2 = c^2ならば,a,bのうち少なくとも1つは3の倍数である

(1)c^2 mod 3 = 0のとき
(a^2 + b^2) mod 3 = 0 であるので、a,bはともに3の倍数である。
(2)c^2 mod 3 = 1のとき
(a^2 + b^2) mod 3 = 1 であるので、a,bのどちらか一方が3の倍数である。
(1)、(2)より、a,bのうち少なくとも1つは3の倍数である。