自然数a,bに対し、c=4a+7b , d=3a+4b と定める。aと

質問

自然数a,bに対し、c=4a+7b , d=3a+4b　と定める。aとbが互いに素で、。cとdがどちらも素数pの倍数であるとき、pを求めよ。

全く方針が分かりません。ヒント及び解法を教えていただきたいです。よろしくお願いします。

回答No.3

naniwacchi

こんにちわ。＾＾

そうですね。
互除法まで用いなくとも、もっとストレートにいけるかと・・・

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5a＝ (-4m+ 7n)p、5b＝ (3m- 4n)pより、各式の左辺も 5の倍数となる。
pは素数であることを踏まえると
(i) pが 5の倍数、すなわち p＝ 5の場合
(ii) -4m+ 7nと 3m- 4nがそれぞれ 5の倍数の場合

が考えられる。
(ii)のとき、-4m+ 7n＝ 5K、3m- 4n＝ 5Lとおくと
a＝ Kp、b＝ Lpとなり、aと bが互いに素であることに反する。
よって、(ii)のときは成立しない。

したがって、p＝ 5である。
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こんな感じですね。＾＾

回答No.2

naniwacchi

#1です。

＞a=(7n-4m)p/5 b=(3m-4n)p/5となりました。
このような形にしても構いませんが、
5a＝ (-4m+ 7n)p、5b＝ (3m- 4n)p

の形で考えることが多いですね。
このようにすると、両方の式ともに左辺は 5の倍数となっています。
ということは、右辺もそれぞれ 5の倍数になっていないといけません。

もし(-4m+ 7n)や (3m- 4n)がともに 5の倍数であったとすると、aと bはどうなりますか？
そのとき、「aと bは互いに素」という条件を満たしていますか？
と背理法を用いていけば、pの値が決定されます。

もうちょっとですね。＾＾

補足

c-d=a+3b　がpの倍数、
以下互除法により
d-(c-d)=2a+b>　がpの倍数
2(a+3b)-(2a+b)=5bがpの倍数でなければならず、ｂ=pkまたはp=5
3(2a+b)-(a+3b)=5aがpの倍数でなければならず、a=plまたはp=5(k,lは自然数)
ここでaもbもpの倍数だと互いに素という仮定と矛盾するから、
b=pkまたはa=plのどちらかは不成立で、p=5でなければならない。

という感じでp=5　という結論に達しました。下のp=7は間違いでした＞＜

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

方針が立たなくても、まずは式をいろいろと変形することを考えてみることが大事ですね。
2式を aと bの連立方程式と見たてて解いてみたり・・・
つまりは、a＝・・・、b＝・・・の形にしてみたりということです。

あと、cと dはともに pの倍数ですから、c＝ mp、d＝ npと表すこともできますね。

最後に、残っている条件である「aと bは互いに素」であることを用いると pが求まります。

pは 1ケタの素数になりますね。＾＾

お礼

p=5,7　となったのですがあってますでしょうか？

補足

早速の回答ありがとうございます。

上のようにやってみますと、とりあえず　a=(7n-4m)p/5 b=(3m-4n)p/5
となりました。ここから「aと bは互いに素」という条件を考えるときに互除法とかを用いても大丈夫なんでしょうか？また、その具体的な適用方法がよくわからないです。。。