（ａ×ｂ）×ｃ

質問

ａ，ｂ，ｃをV^3のベクトルとします。

（ａ×ｂ）×ｃ　＋　（ｂ×ｃ）×ａ　＋　（ｃ×ａ）×ｂ　＝　０　　　　…(i)

これは
（ａ×ｂ）×ｃ　＝　－（ｂ，ｃ）ａ　＋　（ａ，ｃ）ｂ　　　　…(ii)
を先に証明してこれを使う事で証明できる事は分かりました。

ところで（ａ×ｂ）×ｃって何ですか？
（（ａ×ｂ）,ｃ）だったらベクトルａ，ｂ，ｃの張る６面体の体積（符号付）ですよね。
でも（ａ×ｂ）×ｃって？。対称な３つのベクトルを足し合わせると０ベクトルになってしまう。（(i)の事です。）
(ii)からａ，ｂの張る平面上のベクトルである事は分かるのですが、
何だか分かったようですっきりしない。

（ａ×ｂ）×ｃ
って幾何学的に何か意味あるんでしょうか？

回答No.2

noname#598

（ａ×ｂ）×ｃ　単独の幾何学的意味はtaropooさん自身がお書きになったことでしょう。

物理学的にはローレンツ力というのがキーワードになりそうです。
安直ですが、フレミングなのかな～なんてのも考え中。
物理のぶの字も分かってないので無責任すぎますが。。。。

あと、（ｉ）から想像するに・・・・
３つのベクトルが
ｅ＋ｆ＋ｇ＝０
を満たすってことは、３つのベクトルｅ，ｆ，ｇは同一平面上・・・・
さらに、ＯＥ，ＯＦ，ＯＧの長さを３辺とする三角形が作れる・・・
こんなもんでしょうか。

お礼

> （ａ×ｂ）×ｃ　単独の幾何学的意味はtaropooさん自身がお書きになったことでしょう。

との事ですが

> aとbに垂直なベクトルとcと垂直なベクトル、それでいてa,bの張る平面上にある…。

って冗長でしたね。
「a,bの張る平面上にあってcと垂直なベクトル」
ですね。
でもそれだけじゃ物足りないんですよ。長さがａ，ｂ，ｃの張る平行六面体の体積（違いますけどね、例えばの話）とか。

> ３つのベクトルが
> ｅ＋ｆ＋ｇ＝０
> を満たすってことは、３つのベクトルｅ，ｆ，ｇは同一平面上・・・・

これ、ナイスです。しかもただ同一平面上じゃなく、原点を通る平面上。
あとはそれがどんな法線ベクトルを持った平面なのかが問題ですね。

補足

（ａ×ｂ）×ｃ、（ｂ×ｃ）×ａ、（ｃ×ａ）×ｂの乗る平面の法線ベクトルを力ずくで解きました。
結果は全くシンプルなものではありませんでした。以下に結果を載せます。

法線ベクトルをｄとすると、ａ，ｂ，ｃは線形独立だからこれらを用いて
ｄ＝pａ＋qｂ＋rｃ　（p,q,rは実数）
と表せて、
p = (ｂ，ｃ)(ａ，ａ) - (ｃ，ａ)(ａ，ｂ)
q = (ｃ，ａ)(ｂ，ｂ) - (ａ，ｂ)(ｂ，ｃ)
q = (ａ，ｂ)(ｃ，ｃ) - (ｂ，ｃ)(ｃ，ａ)
でした。

もっとシンプルな p = q = r とか、p = 1 / (ａ，ａ), q = 1 / (ｂ，ｂ), r = 1 / (ｃ，ｃ)とかを期待していたのですが。

以上ご報告まで。

回答No.1

quotani

(a×b)はベクトルaとベクトルbに垂直なベクトル。
そのベクトルとベクトルcに垂直なベクトルが(a×b)×cではないでしょうか。

お礼

う～ん、それはそうなんですけど、
aとbに垂直なベクトルとcと垂直なベクトル、それでいてa,bの張る平面状にある…。
それを対称な３つを足すと何故０ベクトルになるのか、そこがすっきりしないんですよね。