正三角形の群、逆元

質問

正三角形があり、その頂点を1,2,3とする。この正三角形を自分自身に重ねる操作を考える。
(1,2,3→1,2,3){1が１に移り、2が2に移り、3が3に移る。}この操作をa_0とし、(1,2,3→2,3,1){1が2に移り、2が3に移り、3が1に移る。}これをa_1とし、以下同様に(1,2,3→3,1,2)これをa_2。(1,2,3→1,3,2)これをa_3。(1,2,3→3,2,1)これをa_4。(1,2,3→2,1,3)これをa_5とする。添付した図-1は具体例です。このとき２つの操作a,bを続けてほどこすことをabと書くことにすると、たとえばa_2a_4=(1,2,3→3,1,2)(1,2,3→3,2,1)=(1,2,3→1,3,2)=a_3となります。このような操作を表にすると添付した表-1(本にも書いてある)になる。各操作の逆元について、本にはa_0の逆元はa_0、a_1の逆元はa_1・・・とa_nの逆元はa_n(nは0から5)となっていました。a_0が単位元なので表から、a_1の逆元はa_2、a_2の逆元はa_1となると思うのですが、どなたか自分の逆元が正しいか、本の逆元が正しいかを教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

いちいち他人に頼らずに自分の考えに確信が持てるようになってください。それが理解したということです。
a_1の逆元はa_2、a_2の逆元はa_1です。

お礼

お返事ありがとうございます。

回答No.3

abiwirang

問題文と図を確認しました。確かに本に書いてある逆元の表と、a_1とa_2の逆元が誤っています。正しくは、a_1の逆元はa_5であり、a_2の逆元はa_4です。このことは、表を見ても確認できます。なお、正三角形の群においては、各操作の逆元はその操作を反時計回りに1/6回転させたものになります。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.2

dedypraja

正三角形の群において、操作の逆元はその操作を元に戻す操作になります。

たとえば、a_1の逆元は「2,3,1→1,2,3」の操作になります。これは、a_1を実行する前の状態「1,2,3」に戻すための操作であり、a_1を元に戻す操作となります。

同様に、a_2の逆元は「3,1,2→1,2,3」、a_3の逆元は「1,3,2→1,2,3」、a_4の逆元は「3,2,1→1,2,3」、a_5の逆元は「2,1,3→1,2,3」となります。

つまり、本に書かれた逆元の表は正しいです。

お礼

表が正しいのですね。お返事ありがとうございます。