フィボナッチ数列の1の位

質問

(マスターオブ整数p29より)
フィボナッチ数列の1の位が循環しているという問題の解説なのですが、ここの内容がわかりません。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

1行目が1,1で始まり、2行目が7,7で始まるのならこの数列のつくりかたから2行目が1行目の7倍になっていることは明らかです。同様に3行目が2行目の7倍になっていることは明らかです。

お礼

短いのにわかりやすい解説ありがとうございました😊

回答No.2

staratras

フィボナッチ数列の1の位の数字は周期60で循環していますが、この解説で述べていることはその60個をすべて足し算して求める必要はなく、最初の15個(0が出るまで）を求めれば、あとは次々に判明するということです。まず次の15個はその最初の15個の1の位の数字を「0の一つ前の数」倍した数の１の位を求めれば良いことになります。

理由は、最初の15個の数字の最後（0が出る一つ前）の数字をaとすれば、その後の数列の1の位の数は
a→0→a→a→2a→3a→5a→8a→…の1の位の数となるからです。aの係数は最初の15個1,1,2,3,5,8,…で、
下の表に示した通りです。このためこうした数列では「最初に0となるのがいつか」が重要になります。

その次の15個を求めるには、その前の数（2つ目の0の前の数）が必要ですが、a=7なので、7a=7×7=49　で9、
さらにその次の15個を求めるのに必要な（3つ目の0の前の数）は7×9＝63　なので3、
そのさらに次の15個を求めるのに必要な（4つ目の0の前の数）は７×3＝21　なので1　ということになります。
この1が判明した時点で、周期が60であることもわかります。

下の表は見やすいように初項は1からですが0から初めています。

お礼

解説ありがとうございました😊
他の数列にも応用できる考え方を示していただいたのでとてもありがたいです。