広義積分の問題です

質問

次の広義積分の回答＆ヒントを教えてください。

∬(x^2)e^(-3x^2+4xy-2y^2+2x-1)dxdy
積分区間はx,yともに－∞～∞です。

まったく手がでなくて、「ココまではわかる」とかはありません。。
よろしくお願いいたします。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

指数関数の中身を＃１さんの言われるように平方完成の形にすれば解いていくことができます。

１）指数関数の中身を次のように変形する。
　　-3x^2+4xy-2y^2+2x-1
　＝-2(y-x)^2-(x-1)^2

２）積分順序を決める。
　被積分関数をみると、ｙやｘとともに表されているので、先にｙについて積分し、次にｘについて積分する。
　　与式＝∫(x^2)e^{-(x-1)^2} [∫e^{-2(y-x)^2}}dy] dx

３）先ず、∫e^{-2(y-x)^2}}dyを求める。
　この積分ではｘは定数として扱うことができるので、y-x＝uと置いて積分する。このとき積分区間は－∞～∞で変わらないことに注意してください。
　ちなみに、[u=0→∞]∫e^(-a^2 u^2)du＝√π/(2a)となることを利用すると良いでしょう（積分区間に注意してください）。
　積分の結果は、√(π/2)となりｘが消えるはずです。

４）次に、∫(x^2)e^{-(x-1)^2}dxを求める。
　この積分も３）と同様に、x-1＝vと置いて積分します。
　ただし、この場合は、指数関数の前のxが展開されて次のように分解されます。
　　∫(x^2)e^{-(x-1)^2}dx
　＝∫v^2 e(-v^2)dv +∫2v e(-v^2)dv +∫e(-v^2)dv
　この中で、第2項の∫2v e(-v^2)dvの被積分関数は奇関数であることから積分したものは０になります。
　また、第1項は[v=0→∞]∫v^2 e(-a^2 v^2)dv＝√π/(4a^3)になる関係を使うと容易になります。
　第3項は３）項で使った関係を利用してください。
　これらの積分をすると、第1項は√π/2、第3項は√πになると思います。
　以上の結果から、積分したものは次のように求められます。
　　∫(x^2)e^{-(x-1)^2}dx＝3√π/2

５）　３）項の値と４）項の値をかける。
　その結果、与式は3π/(2√2)と求められます。
　（ただし、どこかで計算違いをしているかもしれませんので値はご自分で確かめて下さい。）

お礼

回答ありがとうございます。
詳しく書いていただけてわかりやすかったです。

回答No.1

eatern27

指数の肩に乗っている、-3x^2+4xy-2y^2+2x-1を平方完成とかすれば、
-a(・・・)^2-b(・・・)^2 +定数
の形に変形できます。・・・はx,yの1次式です。
・・・の部分をそれぞれu,vとおいて、積分変数をu,vにとりなおせば、求める積分は、∫(u,vの2次式)e^(-au^2-bv^2) dudvの形に変形できます。

この積分は、uに関する積分とvに関する積分に分離できるので、
∫[x:-∞→∞]e^(-αx^2)dx
∫[x:-∞→∞]x^2e^(-αx^2)dx
の形の積分に帰着されます。(前者をαで微分すれば後者が求まります)

お礼

回答ありがとうございました。
参考にして解いてみようと思います。