指数関数と対数関数を含む積分の解き方について

質問

x*logxは部分積分により解けるのですが、
e^ｘ*logxの積分はどのように解くのでしょうか。

回答No.4

Mr_Holland · ベストアンサー

＃１さんの言われるとおり初等関数で表すことはできません。
　部分積分した結果　-∫exp(x)/x dx という項ができますが、これが指数積分というものになり、これ以上は初等関数で表すことができなくなります。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E7%A9%8D%E5%88%86
http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/ExpIntegralEi.html

　∫exp(x)log(x)dx=exp(x)log(x)-∫exp(x)/x dx =exp(x)log(x)+Ei(x)
　　ただし、Ei(x):指数積分　=-∫exp(x)/x dx

　この指数積分は、x=0 で-∞に発散しますが、もし冪級数展開が使えるなら、次のように展開できます。

　　x<0 のとき　Ei(x)=γ+log(x)+Σ[n=1→∞] x^n/(n!n)
　　x>0 のとき　Ei(x)=γ+log(x)-iπ+Σ[n=1→∞] x^n/(n!n)
　　　ただし、i:虚数単位、γ：オイラーのγ定数（≒0.57721）
　　　　　　　Σ[n=1→∞] x^n/(n!n)=x+x^2/4+x^3/18+x^4/96+x^5/600+x^6/4320+・・・

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E6%95%B0

お礼

具体的な回答ありがとうございます。
指数積分がEi(x)=∫[-x→∞]exp(x)/x dxであることはわかったのですが、
∫[1→10]exp(x)/x dxの場合、数値としてどのように求めるのでしょうか。

回答No.7

Mr_Holland

ANo.4/5/6 です。
　なんだか二人だけのやりとりになってしまいましたね。

（ANo.5のお礼欄から）
＞×∫[-x→∞]exp(x)/x dx
＞○∫[-∞→x]exp(x)/x dx
＞でしょうか。

　その通りです。

（ANo.5の補足欄から）
＞間違えました。
＞-∫[-x→∞]exp(-x)/x dx=-∫[x→-∞]exp(x)/(-x )dx
＞ということでしょうか。

　積分変数の符号の反転も考えなければなりません。
　積分変数とEi(x)の変数xとを区別するため、積分変数をtに書き換えて、以下、式変形を記しますが、系統立てて考えるためには、符号反転による変数変換で　積分変数や積分範囲がどのように変わるのかきちんろ記しておくことが大切です。

　変数変換　-t=s としますと、　　-dt=ds, t=-xのときs=x, t=∞のときx=-∞　　　←　これがポイント！

　Ei(x)
=-∫[-x→∞]exp(-t)/t dt
=-∫[x→-∞]exp(s)/(-s) (-ds)　　←　変数変換（上の「ポイント」を使ってそのまま代入）
=-∫[x→-∞]exp(s)/s ds　　　　　←　(-ds)/(-s)で符号相殺
=+∫[-∞→x]exp(s)/s ds　　　　　←　積分区間を入れ替え（それに伴い、定積分の符号が反転）
=+∫[-∞→x]exp(t)/t dt　　　　　←　積分変数の文字をｔからｓに書き換え（ただけ）。

　以上、よろしければ参考にしてください。

お礼

何度も回答頂きありがとうございます。
とても丁寧でわかり易かったです。

回答No.6

Mr_Holland

ANo.4/5です。
　またお礼をありがとうございます。

＞No.4で紹介していただいた下記サイトに
＞http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0% …
＞Ei(x)=-∫[-x→∞]exp(-x)/x dx
＞=∫[-∞→x]exp(x)/x dx
＞とあったのですが・・・

　上の式は、ANo.4のお礼欄に書かれた式と異なりますよね。

＞指数積分がEi(x)=∫[-x→∞]exp(x)/x dxであることはわかったのですが、

　被積分関数のｘを－ｘに置き換えても－符号は残りますし、積分区間の置き換えもなされていませんよね。

お礼

＞積分区間の置き換えもなされていませんよね

ご指摘のとおりです。
×∫[-x→∞]exp(x)/x dx
○∫[-∞→x]exp(x)/x dx
でしょうか。

＞被積分関数のｘを－ｘに置き換えても－符号は残りますし

-∫[-x→∞]exp(-x)/x dx=-∫[-x→∞]exp(x)/(-x )dx
ということでしょうか。

補足

間違えました。
-∫[-x→∞]exp(-x)/x dx=-∫[x→-∞]exp(x)/(-x )dx
ということでしょうか。

回答No.5

Mr_Holland

ANo.4です。
　お礼をありがとうございます。
＞指数積分がEi(x)=∫[-x→∞]exp(x)/x dxであることはわかったのですが、
＞∫[1→10]exp(x)/x dxの場合、数値としてどのように求めるのでしょうか。

　数値計算で求めるしかないでしょう。
　ANo.4で記した冪級数展開を利用してください。

　また、便利なサイトがあって、積分区間を入れれば計算してくれるサービスがあります。
　ここでの計算結果によれば　Ei(10)-Ei(1)≒2490.33 です。
　もっと桁数を増やすこともできますので、よければ覗いてみてください。

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate%5BExp%5Bx%5D%2Fx%2C+%7Bx%2C1%2C10%7D%5D

　なお、単なる誤記だと思いますが、指数積分関数 Ei はインテグラル記号∫の前にマイナス符号が付いていますので、念のためお知らせしておきます。

お礼

>お礼をありがとうございます。

いやいやいや・・・後からじわじわきました。

>Ei(10)-Ei(1)≒2490.33 です。

[1→10]=[-∞→10]-[-∞→1]
について、すぐにはわからなかったのですが、
図に描いて納得しました。
ありがとうございます。

>指数積分関数 Ei はインテグラル記号∫の前にマイナス符号が付いていますので、

No.4で紹介していただいた下記サイトに
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E7%A9%8D%E5%88%86
Ei(x)=-∫[-x→∞]exp(-x)/x dx
=∫[-∞→x]exp(x)/x dx
とあったのですが・・・

回答No.3

info22_

#1さんも言われているように初等関数の範囲では積分できません。

大学数学レベルでなら
超越関数（特殊関数）である指数積分関数Ei(x)を使えば
∫e^ｘ*logxdx=e^xlog(x)-Ei(x)+C (Cは積分定数)
と不定積分を求めることが出来ます。

なお、Ei(x)については参考URLをご覧下さい。

参考URL：

http://mathworld.wolfram.com/ExponentialIntegral.html

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.2

Tacosan

ああ, 言葉が足りなかった.
「初等関数として」は, 不定積分できません. 指数積分のように初等的でないものを導入すれば不定積分も可能です.

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

少なくとも, 不定積分は無理.