カードの組み合わせ

質問

AからEの5種類のカードを使って2人で行うゲームがある。このとき、2枚のカードの組み合わせは何通りか？

この問題の答えは5C2で10通りらしいのですが、どうしてそうなるのかが分かりません。
分かる方、教えてください！！

回答No.6

asuncion

設問文の書き方が
あいまいであるような
気がしてきた。

回答No.5

takochann2

選んだ2枚のカードの順序を気にしなければコンビネーションになる。
プロダクトは順番も考慮した場合に使う。コンビネーションの定義を考えればそうなるのが分かるはず。1枚目二枚目を区別した組み合わせは1枚目5通り二枚目残りの4枚で4通りで５ｘ４＝5P2。その上、例えばAEとEAは同じと考えると５ｘ４÷２＝５C2。

回答No.4

petertalk

「AからEの5種類のカードを使って2人で行うゲームがある。このとき、2枚のカードの組み合わせは何通りか？」

「人とカードの組合せ」ではなくて
「カードの組合せ」を尋ねられているのだから、
人は考えずに、2枚のカードの組合せだけを数えればいいです。

ただし、それぞれの種類の枚数は限定されていないため、
5種類のカード2枚でありうる組合せを
全て数える必要があるので、答えは15通りです。

(A,A)(A,B)(A,C)(A,D)(A,E)
(B,A)(B,B)(B,C)(B,D)(B,E)
(C,A)(C,B)(C,C)(C,D)(C,E)
(D,A)(D,B)(D,C)(D,D)(D,E)
(E,A)(E,B)(E,C)(E,D)(E,E)

計算式ですが、この問題のように「n種類のものからr枚を取り出す」組合せは
「重複組合せ」と呼ばれます。

数え方は、5種類なので、仕切りを4つ用意して、
その4つの仕切りに区切られた5つのエリアが、
5種類それぞれの枚数を表す、とします。

Aの枚数｜Bの枚数｜Cの枚数｜Dの枚数｜Eの枚数、

そして、組み合わせるカードは2枚なので、
2つの〇を5つのエリアのどこかに置いて、
その種類の枚数を表す、とします。

例：

〇｜｜〇｜｜：Aが1枚、Bが0枚、Cが1枚、Dが0枚、Eが0枚
｜〇〇｜｜｜：Aが0枚、Bが2枚、Cが0枚、Dが0枚、Eが0枚

だから、2個の○と4個の｜の全ての置き方を数えれば、
5種類のカードから2枚を選ぶ重複組合せの数になります。

2個の○と4個の｜の置く位置は合計6か所なので、
この6か所のうち、〇を置く位置の選び方は、
₆Ｃ₂＝15通りとなります。

========================

質問された問題の正しい答えは15通りです。

ですが、「カードは1種類について1枚しかない」ことが明示されているか、
「異なる種類の2枚のカードの組合せ」を求められていれば、
答えは ₅Ｃ₂＝10通りになります。

こちらも疑問かと思うので、この数え方についても書いておきます。

異なるn個のものからr個を選ぶ組合せの数は、nＣrと表わされます。

「種類が異なる5枚のカードから2枚取り出す」であれば、
₅Ｃ₂＝5×4÷2＝10通りとなります。

その考え方ですが、

最初に1枚カードを選ぶ選び方は、5種類あるので5通り。

(A, (B, (C, (D, (E

この5通りそれぞれについて、もう1枚のカードの選び方は、
残り4種類なので、4通り。

(A, => (A,B)(A,C)(A,D)(A,E)
(B, => (B,A)(B,C)(B,D)(B,E)
(C, => (C,A)(C,B)(C,D)(C,E)
(D, => (D,A)(D,B)(D,C)(D,E)
(E, => (E,A)(E,B)(E,C)(E,D)

よって、全ての選び方は、5×4＝20通りですが、
これだと、1枚目と2枚目が入れ替わっただけで、
中身は同じ組合せが2つずつ存在しています。

そのため、これを2で割る必要があるので、
₅Ｃ₂＝5×4÷2＝10通りとなります。

同様に、「種類が異なる6枚のカードから3枚取り出す」は、
₆Ｃ₃＝(6×5×4)÷(3×2)＝20通りです。

考え方と計算方法をしっかり覚えてください。

回答No.3

naclav

>AからEの5種類のカードを使って2人で行うゲームがある。このとき

どんな手順のゲームなのか説明がなさ過ぎて「このとき」がどんなときなのかぜんぜん分かりません。
この問題文は実際に出題された時のままですか？なにか省略してませんか？

回答No.2

asuncion

そりゃ5枚から2枚を選ぶだけだったら10とおりかもしれんけど、
人がからんでるんですよ？

回答No.1

asuncion

＞5C2で10通りらしい
本当かな？
2人の名前をX, Yとする。
Xには5枚から2枚が渡るから、その場合の数は5C2 = 10とおり。
Yには残り3枚から2枚が渡るから、その場合の数は3C2 = 3とおり。
ここで、例えば
XにAとB, YにCとDが渡る場合と
XにCとD, YにAとBが渡る場合を区別するとすると、2! = 2とおり。
∴求める場合の数は10 * 3 * 2 = 60とおり