虚数の謎は二次方程式の中にありませんか

質問

数学の歴史の中で虚数が問題になったのは三次方程式の解法に関係しているという事ですが、二次方程式の判別式の中に虚数が出てきていますが、これは問題にならなかったのでしょうか。

回答No.5

SI299792

理解されたのであれば蛇足かもしれません。複素数ができる前は√-1が出たら、そこで計算をやめて、解無し又は計算不能にしました。三次方程式の公式を作ったカルダノ自信も、そう思い込み、解ける問題も解けないと思っていたようです（テレビを見たのならそこはご存知でしょうが）。
　判別式は、もともと解があるか（計算可能か）どうか判別するための式です。

＞実数から虚数は生まれないのかな
累乗根で生まれます。
-1の 2乗根は、i,-i
1 の 4乗根は、1,-1,i,-i

お礼

>累乗根で生まれます。

負数の累乗根は虚数の実在を前提にしていないでしょうか。ちょうど三次方程式が虚数の実在を暗示したように。類jy闘魂は実数だけを対象にしていれば判別式と同じで桂さんっ不可能で住んでいたのではと思いました。そういう意味で虚数の実在を前提にしないと実数が出てこないのかなと思いました。

回答No.4

Winter_5

実数体と複素数体を思うとき
ｘ--->ｘ+0iであり、実数は複素数の一部に過ぎない。

お礼

そうなのですね。

回答No.3

SI299792

笑わない数学ですね。
　虚数ができる以前は、実数解だけ出せばよかった。実数解に限れば、二次方程式は虚数を使わなくても解けるので、問題になりませんでした。虚数を知らない以上「解なし」以上の答えは出ない。それを疑う人はいませんでした。
　三次方程式も、実数解だけ出せばよかった。しかし、途中√-1が出てきてそのまま計算すれば、実数解が出てくるパターンが発生しました。（最終的に√-1 -√-1で虚数が消え、実数が残る）。三次方程式は実数解を出すにも虚数が必要。そこで人は始めて虚数を知りました。テレビによると、それでも受け入れるのに相当時間がかかったようです。
　虚数ができた後、二次方程式の複素数解ができました。ガウスによる功績が大きいです。（複素数なら、二次方程式の解は必ず２つ、三次方程式の解は必ず３つ…、この法則により、複素数が受け入れられました）

お礼

よくわかりました。それ以前には解がない2次方程式は対象にならなかったという事ですね。虚数の実在が認めれると、それまで対象でなかった（2次）方程式まで対象にされるようになった。そういえばー1×（ー1）がなぜ1になるのかもiの4乗が1になることで説明できることも似ているのかなと思いました。番組のような手続きを踏まなくても虚数を使えば（自然に）結果が出てくるように思います。虚数から実数は生まれるが、実数から虚数は生まれないのかなとも思いました。発見の順序と逆のようにも思いました。

回答No.2

Winter_5

問題を解決させるために虚数が考えだされた。

お礼

二次方程式の場合にどうして虚数が問題にならなかったのかわからないのです。

回答No.1

f272

3次方程式の実数解を表現するのにカルダノの公式では虚数を使わなければならない，というのが問題だったのです。
2次方程式ではこんなことは起こりません。虚数解があれば解なしで済ませることができます。

お礼

二次方程式の判別式が複素数になる場合でも解とされたのは後世のことだったのでしょうか。