高校数学1年の問題です

質問

x+1/x=√7のとき、x-1/xの値を求めよ

という問題が分かりません。どなたか解説お願いします。

回答No.6

tmppassenger

ちょっと突っ込むかな...よくある2乗して求める方法について：

x + 1/x = √7
→ [1]
(x+1/x)^2 = (√7)^2 = 7
⇔ [2]
x^2 + (1/x)^2 - 2 = 7 - 2 - 2 = 3
⇔ [3]
(x-1/x)^2 = 3
⇔ [4]
x-1/x = √3 又は x-1/x = -√3 [A]

上の式変形で、[4]は確かに同値。[2][3]の所も同値。これはいいんですが、問題は、『[1]が同値変形でない』。x+1/x = √7 → (x+1/x)^2 = 7は成り立つが、その逆 (x+1/x)^2 = 7→x+1/x = √7が成立しない。

[1]で右方向しか成り立たない以上、x+1/x=√7 → x-1/x = √3 又は x-1/x = -√3 もこの論証では右方向しか示してないことになる。
なので、この論証では必要条件しか示してないよね、と言われれば、その通りなのです。√3と-√3、本当に両方取り得るのかは、別途論証が必要になります。

繰り返しになりますが、問題は[4]の部分でなく、[1]の部分。2乗は結構危険なことが多い。

ではどうするか？
取り敢えず、x+1/x=√7を満たす数は存在する（この場合実数に取れる）。というのも、これはx^2 - (√7)x + 1 = 0と同値なので（xは明らかに0でない）。従って、x+1/x=√7の解の一つをaとすると、a-1/aは『とにかく何かの値を取る』。で、上の論証から、a-1/a の取り得る候補は、√3と-√3しかないので、『どちらかは分からないけど、どちらかである』事は分かる。

ところで、aがx+1/x=√7の解であるとき、1/aもx+1/x=√7の解となる（これは代入すれば分かりますね）。で、x=1/aの時、x-1/x = 1/a - a = -(a-1/a)。ちょうどx=aの時と符号が逆。
つまり、a, 1/aはどちらもx+1/x = √7の解ではあって、仮にx=aの時x-1/x=√3なら、x=1/aの時x-1/x = -√3。x=aの時x-1/x=-√3なら、x=1/aの時x-1/x = √3

.... となって、結局確かにx-1/xは√3と-√3、両方の値を取り得ることが確認出来る。

回答No.5

asuncion

その同値性を疑うてしまうと、
t^2 = 2
なんていうめっちゃ簡単な2次方程式も
解けへんようになりますよ。
t^2 = 2
と
t = ±√2
が同値なのは明らかでっしゃろ？

回答No.4

asuncion

ていうか、
(x - 1/x)^2 = 3
から
x - 1/x = ±√3
への変形の同値性を疑うって主張が
ようわからんのですよ。

回答No.3

asuncion

p : (x- 1/x)^2 = 3
と
q : x - 1/x = ±√3
は
同値です。
p⇒qもq⇒pも成り立ってますよね。

回答No.2

staratras

x+1/x=√7　　 …(1)
x-1/x=X …(2)　とおく

(1)+(2)より √7+X=2x
(1)-(2)より　√7-X=2/x

両辺同士をかけて
7-X^2=4 ∴X^2=3　X=±√3

答え　x-1/x=±√3

回答No.1

asuncion

x + 1/x = √7より
(x + 1/x)^2 = 7
x^2 + 2 + 1/x^2 = 7
∴x^2 + 1/x^2 = 5

(x - 1/x)^2 = x^2 - 2 + 1/x^2 = 5 - 2 = 3
∴x - 1/x = ±√3

補足

(x-1/x)^2=3までは分かるのですが
x-1/x=±√3というのは必要条件ではありませんか
十分性については議論しなくても良いのでしょうか
学校の先生に聞いても、確かにそうかも、といった曖昧な返事しか得られませんでした