場合の数 2重円の色塗り問題

質問

2重円の中央には一つの円があり、その外側の円は6つに分割してある。
6色に塗る方法は何色あるか、の問題です。ただし、同じ色が隣り合ってはいけない。
一つの色を2か所に塗って固定し、残りの5か所に5色を塗る5!通り。初めの一つの色の塗り方は隙間を開けるから3通り、一つの色の選び方は6通り。したがって、5!×3×6 = 2160 通り。としたのですが、正解は1080通りのようです。
よろしくお願いします。

回答No.2

petertalk · ベストアンサー

＞一つの色を2か所に塗って固定し、
＞残りの5か所に5色を塗る5!通り。
＞初めの一つの色の塗り方は隙間を開けるから3通り、
＞一つの色の選び方は6通り

惜しい。もう一歩です。

図をご参照ください。
同じ色を黒とし、中心以外の他の4色を、①②③④としました。

＞初めの一つの色の塗り方は隙間を開けるから3通り、

同じ色は隙間を空けるので、この3通りとは、
隙間を１つ空ける、２つ空ける、３つ空ける、の3通りですね。

図の上段は、同じ色の２色を２つ空けた塗り方ですが、
左右は、180度回転すると、同じ塗り方になるのがわかりますか。

これを別のものとして数えたので、数が倍になっています。

更に、図の下段の左は、同じ色の２色を１つ空けた塗り方、
図の下段の右は、同じ色の２色を３つ空けた塗り方ですが、
左を120度左に回転すると、右と同じ塗り方になります。

やはりこの２つも別のものとして数えたので、数が倍です。

まとめると、

・同じ色を２つ空けた時は、180度回転すると同じ塗り方なので、
２で割る必要がある。

・同じ色を１つ空けることは、３つ空けることと同じなので、
やはり２で割る必要がある。

よって、どの場合も２回ずつ余分に数えているので、
2160÷2 = 1080通りとなります。

お礼

わかり易い説明ありがとうございました。

回答No.4

staratras

>>下の図のようにもともとの組み合わせに２通りの組み合わせが含まれています
この2図では、円順列の考え方にはならないような気がします。円順列の5!ではなくて、6!になりませんか。

円順列の考え方の説明で、「ある一つを固定して考える」ことが多いのでそう感じるかもしれませんが、ここで言いたいのは、色を統一するために、「隣接しない２区画を選んだ場合、その２区画だけを入れ替えた塗り分けが必ずもともとの円順列5！に含まれている」ということです。

１を固定して考えるなら、No.3の図は下のようになります。これを１と４だけが入れ替わっていることがわかりやすいようにぐるっと回転させたのがNo.3の図です。

お礼

ありがとうございました。ただ、図3の１と３を入れ替えた場合の説明などに労力がいりそうです。面白い発想の解答有り難うございました。

回答No.3

staratras

次のように考えると二重に数えずに済みます。まず中央の円を考えずに、残りの６分された外周の円を６色で塗り分けるとすれば、円順列で ５！＝１２０(通り)です。ここで得られた塗りわけ一つ一つについて、このうちの隣接しない２区画を選んで、２色のうちの片方に統一し、使わない方の色で中央の円を塗れば「一件落着」です。

ちょっと考えると、どちらの色に統一するか２通りあるので２倍しなければならないように思えますが、下の図のようにもともとの組み合わせに２通りの組み合わせが含まれていますので、すでに２倍になっています。

６分されたうち隣接しない２区画を選ぶ組み合わせは、６×３÷２＝９(通り)なので　　求める場合の数は　１２０×９＝１０８０(通り）

補足

ユニークな回答ありがとうございます。
>下の図のようにもともとの組み合わせに２通りの組み合わせが含まれています
この2図では、円順列の考え方にはならないような気がします。円順列の5!ではなくて、6!になりませんか。

回答No.1

hiro_1116

真ん中に塗った色は周囲の6箇所に使えないということを忘れて計算していませんか？