同じものを含む円順列

質問

同じものを含む円順列
白玉が４個、黒玉が３個、赤玉が１個あるとする。これらを円形に並べる方法は□通りある。

解説
赤玉を固定して考えると、白玉４個、黒玉３個の順列の個数に等しいから７！/４！３！＝３５通り

教えてほしいところ
要するに区別ない１つの円順列で区別があるものとすると４！３！多いということで割っているんですよね。
このような円順列であれば疑問は生じないです。
しかし、白玉が３個、黒玉が３個、赤玉が２個のような場合を考えます。
そうすると、１つ固定しますよね（赤を固定するとします）、残りの部分で順列を考えます。
そのとき、固定されている部分は固定したままで考えます。
よって、この場合の式は７！/３！・３！でいいんでしょうか？？
このように、１つだけの色があれば容易に想像できるんですが１つだけの色がない場合、どのくらい多いからいくつで割ればいいというイメージがうまくできません。
イメージ図を描いて、僕の考えがなぜ間違っているか教えて頂けると幸いです

回答No.2

naniwacchi

こんにちわ。

円順列は、「回転させて重なるものは同じ」というルールがあります。
このことをに注意すれば、#1さんの言われていることは理解できるのでは？と思います。

＞白玉が３個、黒玉が３個、赤玉が２個
たとえば、「固定した赤玉」から順番に並びを書いてみると
赤A白白白赤B黒黒黒

のような並びもその一つとして考えることができます。
赤玉にあえて、A, Bという区別をつけてみました。
上の並び方は「赤Aを固定したとき」の並びということになります。

これを「4つ回した」とすると、
赤B黒黒黒赤A白白白 ⇒ 結果：赤黒黒黒赤白白白

となり、これは「赤Bを固定したとき」の並びであると見ることもできます。

しかし、これら 2つの並びは回転させただけですので、同じ並びです。
このように重複する分だけ割る必要があります。

＞赤玉を１つ固定して考えると、そいつは絶対的なものです。
「絶対的」と言われていますが、
「固定した」と選んだ時点で、赤玉 2個のうちどちらを選んだかはわからなくなっています。
それが区別できるとなると、何か「しるし」があることになりますね。

＞できれば、図を描いていただきです。
まずは、ご自分で描いてみてください。

回答No.1

nag0720

＞よって、この場合の式は７！/３！・３！でいいんでしょうか？？

ちょっとおしいです。
赤玉は２個あります。７！は赤玉を区別した場合の順列の数です。
固定する赤玉も区別しないので、さらに２で割る必要があります。
７！/（３！・３！・１！・２）＝７０通り

最初の問題に戻って、固定する玉が赤玉でない場合でも計算できます。
白玉を固定した場合は、
７！/（３！・３！・１！・４）＝３５通り
黒玉を固定した場合は、
７！/（４！・２！・１！・３）＝３５通り

補足

そう答えに書いてあったんですが、納得できませんでした。
赤玉を１つ固定して考えると、そいつは絶対的なものです。
よって、それ以外の順列で考えればいいので赤玉が２個あっても
２！で割る必要がないと思います。
できれば、図を描いていただきです。