確率漸化式

質問

確率漸化式の問題です。
途中過程もできるだけ教えてもらえれば幸いです

回答No.1

f272 · ベストアンサー

N(1)=0
N(2)=1　(2,1)
N(3)=2　(2,3,1),(3,1,2)
N(4)=9　(2,1,4,3),(2,3,1,4),(2,4,1,3),(3,1,4,2),(3,4,1,2),(3,4,2,1),(4,1,2,3),(4,3,1,2),(4,3,2,1)
このくらいまでは直接に確かめられるだろう。
N(k)からP(k)を求めるにはk!で割ればよい。
P(1)=0
P(2)=1/2
P(3)=2/6=1/3
P(4)=9/24
次にN(5)であるが，5番目の箱に入れる玉に注目する。これは1から4までの4通り。そしてその数をiとして，
もしi番目の箱に入れる玉が5でなければ，5番目の箱のiを除く4個の玉考えて，その場合の数はN(4)となる。
もしi番目の箱に入れる玉が5であれば，i番目の箱の5と5番目の箱のiを除く3個の玉を考えて，その場合の数はN(3)となる。
したがってN(5)=4*(N(4)+N(3))
一般にもN(k+2)=(k+1)*(N(k+1)+N(k))が成り立つ。
(k+2)!で両辺を割ればP(k+2)=(k+1)/(k+2)*P(k+1)+1/(k+2)*P(k)が成り立つ。

お礼

ありがとうございます