漸化式

質問

An+1=An（２）－６An＋１２
この漸化式の一般項を求めよ
（）は二乗です

この問題の解き方がわかりません。
途中まで解くとAn+1-3=(An-3)(2)となるようなんですがそこから私には理解不能な変形があるんです。

An-3=（An-1-3)(2)＝（An-2-3)(4)＝（A1-3)(2)(n-1)
これはどうなっているのでしょう？
わかりにくくてすいません。
わかる方教えてください！

回答No.2

shkwta · ベストアンサー

二乗は ^2 と書く人が多いのでそれに従います。
また、数式が不明確にならないように括弧をたくさん使います。

Aの右下にnと書いてあるのは、A[n]と書くことにします。

A[n]-3 = (A[n-1]-3)^2 　[ア]

この式まではＯＫですね？
この式は、nが2以上の整数であるとき成り立ちます。ですから、（nが3以上なら）nの値を1減らしても成り立ちます。つまり、

A[n-1]-3 = (A[n-2]-3)^2　[イ]

nが4以上なら、2つ減らしても成り立ちます。

A[n-2]-3 = (A[n-3]-3)^2　[ウ]

こうして、どんどん減らしていくと、いつかは[ ]の中が1になります。

A[2]-3 = (A[1]-3)^2 [エ]

逆に、[エ]から出発して、[ ]の中を1つずつ増やしながら順々に代入していくと、

A[2]-3 = (A[1]-3)^2
A[3]-3 = (A[2]-3)^2 = ((A[1]-3)^2)^2 = (A[1]-3)^(2^2)
A[4]-3 = (A[3]-3)^2 = ((A[2]-3)^2)^2 = (((A[1]-3)^2)^2)^2 = (A[1]-3)^(2^3)
・・・・
以下同様となるので、これを一般化すると

A[n]-3 = (A[1]-3)^(2^(n-1))

となります。
わかりにくければ補足してください。

お礼

私の変な式で訂正の手間をかけさせてしまってすいません。ｎ＝１から順に代入していけば良いんですね！昔もこのような変形をしないと解けない問題に会って先生にしつこく食らいついて困らせたことがあります。でもこの解答はとてもわかりやすくて１発でわかりました。丁寧な解答をありがとうございました。

回答No.3

charparkave

An+1-3=(An-3)(2)　←壱　がわかるなら、ひとつ下の
An-3=（An-1-3)(2)　を(1)に入れるんです。
すると、An+1-3={（An-1-3)(2）}（２）
　　　　　　　=（An-1-3)(４）←弐
となりますよね、こうしてひとつずつ下ろしていき、An　が　A1　になるときには、
An-3＝（A1-3)(2)(n-1)　←参
となるわけですが、それは弐を
(An-1-3)(４）=(An-1-3)(2)(2)　 ←四
と書いたほうがわかるかもしれません。
いちばん最初の変形では２の２乗、最後には２の(n)乗ですよね。
An+1-3＝（A1-3)(2)(n)　⇔　An-3＝（A1-3)(2)(n-1)
なので、左の式についていうと、n回式変形をしてるはずです。

お礼

An+1-3＝（A1-3)(2)となるまでにｎがついているものは全て同様に減っていくと考えていたのでAn+1だけがずっと変わらないのが疑問だったんです。小さい数に代入していってもAn+1は変わりませんよね。最後のAn+1-3＝（A1-3)(2)(n)　⇔　An-3＝（A1-3)(2)(n-1)で一般項を求める操作をするんですね。わかりやすい解答をありがとうございました。

回答No.1

info22

>An-3=（An-1-3)(2)＝（An-2-3)(4)＝（A1-3)(2)(n-1)
べき乗を「^」を使って書いた方が紛らわしくなくていいですよ。また下付文字とそれに続く式の間に半角スペースを入れた方がいいですね。

An -3＝（An-1 -3)^2＝（An-2 -3)^4＝（A1 -3)^{2(n-1)}

An ＝（A1 -3)^{2(n-1)} +3

これが結果です。A1は通常与えられていると思いますが、どうでしょう！　そうなら、A1を代入して結果とします。

お礼

なるほど！どう表現しようか迷ったんですごい助かりました。この問題ではA1は与えられていませんでしたのでinfo22さんの解答で終わりです。
＞An-3=（An-1-3)(2)＝（An-2-3)(4)＝（A1-3)(2)(n-1)
これはどうなっているのでしょう？
なんて質問してしまったせいで質問自体わかりにくくなってしまってすいません。
解答ありがとうございました！