積分

質問

①∮x+1/x^2+x-6dx
②∮(0→3)x/√x+1dx
③∮（1→e）√(1-log)/xdx

朝の小テストで出て、出来ませんでした。
どなたか解説よろしくお願いいたします

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

(1)
x^2+x-6 = (x-2) (x+3)
と因数分解されることを用い、部分分数分解を行う。
(x+1) / (x^2+x-6) = a / (x-2) + b / (x+3)
（a,bは実数）と変形できたとする。両辺に (x-2) (x+3) をかけて分母を払うと
x+1 = a(x+3) + b(x-2)
x+1 = (a+b) x + (3a-2b)
これが x についての恒等式になるとき
a+b = 1 かつ 3a - 2b = 1
これを解いて
a = 3/5 , b = 2/5
よって求める不定積分は
∫ { (3/5)*(x-2) + (2/5)*(x+3) } dx
= (3/5) log | x-2 | + (2/5) log | x+3 | + （積分定数）…答

(2)
※分母の√がどこまでかかっているのかわからないので、まず「xのみに√がかかっている」として解きます

∫(0→3) x / {(√x) + 1} dx
√x = t とおく。
x = t^2 より
dx = 2t dt
の関係が得られるので
（与式）= ∫(0→√3) { t^2 / (t+1) }*2t dt
= ∫(0→√3) { 2t^3 / (t+1) } dt
ここで、 2t^3 を (t+1) で割ると
商は 2t^2 - 2t + 2 、余りは 2 となるので
（与式）= ∫(0→√3) { 2t^2 - 2t + 2 + 2/(t+1) } dt
= [ (2/3) t^3 - t^2 + 2t + 2 log | t+1 | ] (0→√3)
= 2√3 - 3 + 2√3 + 2 log (1 + √3)
= 4√3 - 3 + 2 log (1+√3) …答

※「x+1」に√がかかっているならば、こうなります

∫(0→√3) { x / √(x+1) } dx
√(x+1) = t とおく。
x+1 = t^2
x = t^2 - 1
dx = 2t dt
よって
（与式）= ∫(1→2) { (t^2 - 1) / t } * 2t dt
= ∫(1→2) ( 2t^2 - 2 ) dt
= [ (2/3) t^3 - 2t ] (1→2)
= { (16/3) - 4 } - { (2/3) - 2 }
= 8/3 …答

(3)
※被積分関数の分子の√の中は (1 - log x) として計算します（logのあとのxが抜けていました）

∫(1→e) { √(1 - log x) / x } dx
log x = t とおく。
(1/x) dx = dt より
dx = x dt となり
（与式） = ∫(0→1) { √(1 - t) / x } * x dt
= ∫(0→1) (1 - t)^(1/2) dt
= [ (-2/3) (1 - t)^(3/2) ] (0→1)
= (-2/3) * 0 - (-2/3) * 1
= 2/3 …答