媒介変数の問題

質問

(1)点(-a,0)を除く円x^2+y^2=a^2は媒介変数tを用いて、
x=a(1-t^2)/(1+t^2) y=2at/(1+t^2)
と表せることを示せ。

この問題を教えてください。逆はできるんですが、この証明は分かりません。

回答No.2

rabbit_cat · ベストアンサー

これは、数学の問題というより、論理（同値関係とかを理解しているか）の問題といった感じですね。

t=tanθ （または t=tanθ/2）と変数変換するという、ちょっと卑怯な方法もありますが、その場合でも、円上のすべての点が、(acosθ,　asinθ）と表わすことができる、というを証明して（すくなくとも触れて）おかないとダメです。

真面目にやるなら、
媒介変数表示できる、ていうのは、つまり、１対１対応がある、てことなんで、
１． tを決めたときに、それに対応する円上の点(x,y)が存在すること
２． 円上の点(x,y)を決めたときに、それに対応するtが存在すること
の２つを証明すればいいです。
１は、x=a(1-t^2)/(1+t^2)， y=2at/(1+t^2) を円の式に代入して成り立つことを調べればＯＫです。
２は、
・-a<x≦aかつy>0
・-a<x≦aかつy<0
・(x,y)=(a,0)
の３つにでも場合分けして、
・x=a(1-t^2)/(1+t^2)，y=2at/(1+t^2)
を満たすようなtが存在すること、を言えばいいですかね。
つまり、x=a(1-t^2)/(1+t^2) をを t に関する方程式だと思ってtについて解いて、解が存在することを確かめるのと、その解（のうちで適当なもの）が、y=2at/(1+t^2)を満たすことを言えばいいです。

もしかしたら、媒介変数表示てのは、単なる１対１対応、ってことじゃなくて、連続写像であること、ていう条件もあるのでしょうか。
でも、高校だと連続な曲線とかは習わないでしょうから、いいのかな。

回答No.1

mister_moonlight

条件より、x＝a*cosθ、y＝a*sinθ　と置ける。‥‥(1)
tan（θ/2）＝t　とすると、cosθ＝(1-t^2)/(1+t^2)、sinθ＝2t/(1+t^2) ‥‥(2)
(1)と(2)より明らか。