「長さ２の線分ＮＳを直径とする球面Ｋがある。点Ｓにおいて球面Ｋに接する

質問

「長さ２の線分ＮＳを直径とする球面Ｋがある。点Ｓにおいて球面Ｋに接する平面の上で、Ｓを中心とする半径２の４分円（円周四分の一の長さを持つ円弧）ＡＢと線分ＡＢを合わせて得られる曲線上を、点Ｐが１周する。このとき、線分ＮＰと球面Ｋとの交点Ｑの描く曲線の長さを求めよ。」

東大の過去問のようです。解答がわかりません。できるだけ丁寧に教えていただけないでしょうか？

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

各点を次のように配置した直交座標系xyzを考えます。
　　点S：原点O,　点N(0,0,2), 点A(2,0,0),　点B(0,2,0), 点K(0,0,1)
　このとき球Kと線分AN,線分BNとの交点をそれぞれA',B' とします。

　ちなみに、このように配置したとき　与えられた図形は次のようになります。【図示の参考用】
　　球面K: x^2+y^2+(z-1)^2=1
　　弧AB: (2cosθ,2sinθ,0)　（ただし、0≦θ≦π/2）
　　線分AB: (t,2-t,0)　　　　（ただし、0≦t≦2)

(A)　点Pは弧AB上にあるときを考えます。
　　　3点N,S,Pを含む平面での断面を考えますと、△NSPと△NKQで　∠PNS=∠QNK,∠NSP=∠NKQ=90° から　△NSP∽△NKQ で　相似比はNS:NK=2:1 となります。
　　　従って、KQ=1 です。
　　　このことから　2点A',B'の座標はA'(1,0,1),B'(0,1,1)であり、点Qは半径1,中心角90°の円弧上を動くことが分かります。
　　　従って、　点Pが弧AB上にあるときの点Qの軌跡の長さは　π/4 となります。

(B)　点Pが線分AB上にあるときを考えます。
　　　3点A,B,Nを含む平面ABNを考えますと、線分AB、線分NPはこの平面に含まれますので、線分NPと球Kとの交点である点Qは平面ABNと球Kとの共有部分を移動しています。
　　　また、平面と球との共有部分は円周になりますので、点Qは円周上の一部（円弧）を移動していることになります。

　　　さて、平面ABNの方程式は　x+y+z=2 と書けますので、点K(0,0,1)と平面ABNとの距離は　点と平面の距離の公式から　1/√3 と求められます。
　　　点Kから平面ABNに下ろした垂線の足をHとして、3点N,K,Hを含む平面NKHでの断面を考えます。
　　　△KHNは∠KHN=90°とする直角三角形で、KN=1,KH=1/√3 ですから、三平方の定理から　HN=√(2/3) です。
　　　このことから、点Qが移動する円弧の半径は　√(2/3)　であることが分かります。

　　　次に、3点A',B',Nを含む平面A'B'Nの断面を考えます。
　　　このとき、3点A',B',Nは点Hを中心とする半径√(2/3) の円周上にあり、線分NA'=NB'=√2 です。
　　　点Hから線分NA'に下ろした垂線の足を点Mとしますと、点Mは線分NA'を二等分しNA'=1/√2 となります。
　　　従って、cos∠HNM=NM/NH=√3/2 となりますので、∠HNM=30°　です。
　　　△NA'B'は直線NHについて対称ですので、∠B'NH=30°　ですから、∠B'NA'=60°　となります。　　　（つまり、△NA'B'は正三角形であることが分かります。）
　　　従って、中心角と円周角の関係から　∠A'HB'=120°　となりますので、弧A'B'の中心角は　120°　です。

　　　故に、弧A'B'は　半径√(2/3),中心角120°　の弧ですので、点Pが線分AB上を動くときの点Qの動く軌跡は次のようになります。
　　　　　2π√(2/3)×120/360=(2/3)π√(2/3)

　以上のことから　点Qが描く曲線の長さは(A)と(B)の距離を合わせて、次のように表されます。
　　　π/4+(2/3)π√(2/3)

お礼

丁寧な回答いただきありがとうございました。

回答No.4

Mr_Holland

ANo.2です。
　計算ミスがありましたね。
　点Pが弧AB上にあるときの軌跡の長さは　π/2 です。

　ご指摘ありがとうございます。＞＃１さん

回答No.3

nag0720

＃１です。

＃２さんが詳しく解説しているので、要点だけ。

NA=NB=AB=2√2なので、△NABは正三角形
球面と線分NA,NBとの交点A',B'はNA,NBの中点になっているので、△NA'B'は１辺√2の正三角形。
よって、△NA'B'の外接円を描くと∠ANB=60°が円周角になるので中心角は120°となります。

なお、円弧ABに対する点Qの軌跡の長さは2π/4=π/2ですから、答えは、
π/2+(2/3)π√(2/3)=(9+4√6)π/18
です。

お礼

わかりやすい解説ありがとうございます。

回答No.1

nag0720

考え方だけ。

球面と平面とが交わる曲線は円になるので、点Pが線分AB上を動くとき、交点Qの軌跡は円弧になります。

また、平面上の半径２の円と点Nとで作られる円錐を考えれば、それと球面とが交わる曲線も円になるので、点Pが円弧AB上を動くときも、交点Qの軌跡は円弧になります。

あとは、球面と線分NA,NBとの交点を求めて、さらに、上記の交わる円の半径と中心角を求めれば、曲線の長さが分かります。

補足

点Pが線分AB上を動くとき、交点Qの軌跡は円弧・・・そのときの中心角っていくらでしょうか？