高校範囲での三角関数に関する不等式の証明について。

質問

sinθ<θ<tanθ (0<θ<π/2)…(*)という不等式がありますが、この証明で悩んでいます。自分は次のような証明を習いました。
中心角がθ、半径rの扇形OABを描く。（θ=∠AOB）
線分OAに垂直な直線を考え、OBを延長した線と交わる部分をCとする。(このときACは扇形を円と考えたときの接線。)
三角形OABの面積は、(1/2)*(r^2)*sinθ
扇形の面積は、(1/2)*(r^2)*θ
三角形OACの面積は、(1/2)*(r^2)*tanθ
であり、これらの大小関係は明らかに、
(1/2)*(r^2)*sinθ < (1/2)*(r^2)*θ < (1/2)*(r^2)*tanθ
であるから、各辺に(1/2)*(r^2)の逆数をかければ、(*)が成り立つ。
というものです。
しかし、この中には、円（扇形）の面積、つまり積分が入っています。しかし、三角関数の積分を考えるとき、どうしてもsinθ / θ→1（θ→0）を使わなくてはならないと思います。
これを証明するには、(*)の各辺をsinθで割り、逆数を取ることを利用しなくてはなりません。
やはり、(*)の証明を変えなくては循環してしまうと思うのですが、なにか上手い手はないでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.2

take008 · ベストアンサー

↓に詳しく書いてあります。

参考URL：

http://www.ss.u-tokai.ac.jp/~ooya/Misc/QandA/No005.shtml

お礼

ありがとうございました。よくわかりました。

回答No.1

yoikagari

結論から言うと、あなたの感覚は正しいです。
要するに、あなたが習った証明はおかしいのです。
高校生の時点では、微積分について深くつっこまないので、こういった論法でお茶を濁してしまうのです(きちんとやると本当に難しくなってしまうのです)。

もしきちんとした証明が知りたいのであれば、大学の数学(解析学)を学ぶ必要があるかと思います。

お礼

ありがとうございました。