ε-Ｎ論法について

質問

ε-Ｎ論法について
数列の極限の定義のε-Ｎ論法で、一般的には

｛Ａn｝について、任意のε＞０に対してある番号Ｎが存在して、ｎ＞Ｎのとき
｜Ａn－α｜＜ε
を満たす

ってかんじですけど、問題を解く都合上、

｜Ａn－α｜＜ε/２

とおいたりするときがあるんですけど、この1/2もまた任意なんですか？
例えば、右辺をε/|An|とかε/|α|とかの未知数でおくことも可能なんでしょうか？

回答No.4

tsukita · ベストアンサー

解決してるようだけど、せっかく通りかかったので…（余計なお世話かも。。。）

つまるところ、大事なことは、“任意の”つまり
【どんな正の実数εに対しても｜A_n　－　α｜がεで抑えられる】ことを
主張することが大事です。

従って、εもε／2も対して変わりません。だって、
εは任意にとって構わないのだから、例えば、｜A_n　－　α｜を0.000001で抑えたかったら、
｜A_n　－　α｜＜ε　の場合は　ε＝0.000001、
｜A_n　－　α｜＜ε／２　の場合は　ε＝0.000002、
と値を設定すればいいわけですから。

本質的には、
｜A_n　－　α｜＜●
の●に入る式をεの関数y=●（任意に値をとることができるεが変数で，定義域は正の実数全体）と考えたとき、その関数が任意の正の実数を取ることができればいいわけです。

y=εで、εは任意に取ることができるんですよね。だから、ＯＫです。
y=ε/2の場合でも、グラフを考えれば、yは任意の正の実数を取れますね。
この意味で、例えば、

任意の正の数εに対して
｜A_n　－　α｜＜ε
｜A_n　－　α｜＜ε／2
｜A_n　－　α｜＜ε^2
｜A_n　－　α｜＜1/ε
などが成立する場合も、数列が収束することになります。

※ただし、専門書等では、εで抑えることが“きれい”なので、例えば、
｜A_n　－　α｜＜ε^2
であれば、はじめは、εを使わないで、ε_0なんかで
｜A_n　－　α｜＜ε_0^2
としておき、
ここでε＝√(ε_0^2)とすると
｜A_n　－　α｜＜ε
が成り立つ
というように、形式的に置き換えたりします。

＞例えば、右辺をε/|An|とかε/|α|とかの未知数でおくことも可能なんでしょうか？

抑える側に未知数が含まれる場合には
【任意の正の実数で抑えられる】と主張することはできないですよね。
したがって、未知数を含んでる場合は収束することを主張できません。

回答No.3

noname#110906

εが任意に取れるなら、ε/2も任意に取れるでしょう。

たとえば、ε=1だったとしましょう。
その1/2の0.5は存在します。
じゃあ、ε=0.5だったら、
その1/2の0.25は存在します。
という作業は、延々と続けられますよね。

回答No.2

alice_44

任意の ε1＞０ に対してある番号 Ｎ が存在して、
ｎ＞Ｎ のとき ｜Ａn－α｜＜ε1 を満たす。

ε1 は任意なので、任意の ε0＞０ に対して
ε1 ＝ (ε0)/2 としても、上の命題が適用できて、
Ｎ が存在するのです。

ただし、ε1 は定数でないといけないので、
ε/|α| は ok ですが、ε/|An| は out です。

お礼

なるほど。。。定数ですか！！

わかりました。
ありがとうございましたm(_ _)m

回答No.1

koko_u_u

>右辺をε/|An|とか

不可

>ε/|α|とか

可

理由は自分で考えてね。