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論理的思考力を高めるためには、弁証法的論理学と数理論理学、どちらの勉強した方が良いですか？ 例えば、議論に強くなりたいなら弁証法的論理学で、数学や物理学の道に進みたいなら数理論理学でしょうか？ ある文系さんから「数理論理学などという形式主義的な発想がそもそも間違っている」と言われたのですが、これはどういうことでしょうか？

群O(p, q)の定義を教えてください。英語版のウイキペディアで解説されていますが、英文の意味がよくわからなかったです。

行列Aの固有値だけから、 A'Aの固有値を求める方法はありますか。 例えば、A*Aの固有値は行列Aの固有値の2乗になると思うのですが、 A'Aの場合のAの固有値とA'Aの固有値に関係性があれば知りたいです。 A'Aの行列式(A'Aの固有値の積)は、行列Aの行列式(Aの固有値の積)の2乗になることはわかりましたが、個別の固有値を知りたいです。具体的なA'Aの固有値が分からなくても、それぞれの固有値が比例するなどの関係性でも教えていただければ幸いです。 Aは下三角行列で、 A’は行列Aの逆行列です。 よろしくお願いします。

次の広義積分が収束することを示せ (1)　∫[1,∞]cosx/x^2 dx (2)　∫[1,∞]sinx/x^1/2 dx

　数学には素人ですが、興味がある者です。時々思うのですが、大学の数学教授や数学の難問を研究しているような研究者が扱っている数学と、日本の小学生や中学生が受験のために勉強する数学とは違うのでしょうか。要するに一口に数学といっても、その中にジャンルがあって、「この分野の数学はできるけど、こっちはできない」みたいな区分があるのかを知りたいです。 　極端な話、ジャンルが全く違うのであれば数学の研究者や大学の教授がポアンカレ予想を理解しても、開成や桜蔭中学などのちょっとひねった数学問題を解けないなんてことはあるのでしょうか。そうすると小学生が解く問題を数学の専門家が解けないことになります。 　それとも数学者と言われる方々は大学で学ぶ数学程度なら何の苦も無く全員がすぐに解答をだすことができるのでしょうか。 　とりとめのない質問ですが、「数学」をプロとしている方々の実情を知りたくて質問しました。