母集団の分散の推定値：なぜ平方和を自由度で割るのか

質問

母集団の分散の推定値Vを求めるときに、なぜ平方和Sを（標本数nではなく）自由度n-1で割るんですか？

いろんな本を読み、インターネットでも調べましたが、きちんと理解できるものがありませんでした。

しかし、以下のサイトのコメント欄で理解できそうなのを発見しました:

https://tech.naviplus.co.jp/2014/02/27/%E4%B8%8D%E5%81%8F%E5%88%86%E6%95%A3%E3%81%AF%E3%81%AA%E3%81%9C-n-1-%E3%81%A7%E5%89%B2%E3%82%8B%E3%81%AE%E3%81%8B%EF%BC%9F/#conclusion

ただ、最後のこの文だけ理解できていないです:

>基準点を平均値にすると差分の計算自体は、見かけ上ｎ個現れますが、平均値を持つサンプルがたまたまあった場合を考えると、n-1個の差分であり、この場合の一般化（オフセットの処理）と考えたほうが、わかりやすいのではと思います。
ただ、この一般化が気持ち悪いのかもしれませんね。

…この文までは理解できていたのですが、これを読んで「普段は基準点を平均値にしている」ことに気付き、また理解できなくなりました。

例えば、2, 3, 5, 6という4つの標本の場合、合計は16で標本数nは4なので、平均は4です。
よって、この4を基準にして計算すると、
(2 - 4)^2 = (-2)^2 = 4
(3 - 4)^2 = (-1)^2 = 1
(5 - 4)^2 = (-1)^2 = 1
(6 - 4)^2 = (-2)^2 = 4
なので、Σで合計を取ると、10になります。
V = S/ν = S/(n-1) = 10/(4-1) = 10/3 = 3.333...

これが通常の計算だと思います。

もし、基準を最小値の2にした場合は
(2 - 2)^2 = (0)^2 = 0　←差分が無い
(3 - 2)^2 = (1)^2 = 1
(5 - 2)^2 = (3)^2 = 9
(6 - 2)^2 = (4)^2 = 16
なので、Σで合計を取ると、26になります。
V = S/ν = S/(n-1) = 26/(4-1) = 26/3 = 8.667

計算は合わないですが、これならn-1になる理由が理解できます。

これを踏まえて、コメント欄にある文章の「平均値を持つサンプルがたまたまあった場合を考えると」がさっぱり分かりません。だって、今回は平均値4を持つサンプルが無いじゃないですか。理解できる方、私にも理解できるように説明をお願いします。

これさえ理解できれば、次のステップに進めそうです。
逆質問があれば答えます。

※今、これを書いていて閃いたのですが、もしかして「もし4があったら」みたいな仮定の話で進めているのでしょうか？

例えば、2, 3, 4, 7という4つの標本の場合、合計は16で標本数nは4なので、平均は4です。
よって、この4を基準にして計算すると、
(2 - 4)^2 = (-2)^2 = 4
(3 - 4)^2 = (-1)^2 = 1
(4 - 4)^2 = (0)^2 = 0　←差分が無い
(7 - 4)^2 = (3)^2 = 9
なので、Σで合計を取ると、14になります。
V = S/ν = S/(n-1) = 14/(4-1) = 14/3 = 4.667

これは計算自体は合っていますが、2, 3, 5, 6の場合の結果3.333とは違いますね。うーん、やっぱり分からないです。すみません、お願いします。

回答No.2

phosphole · ベストアンサー

＞>基準点を平均値にすると差分の計算自体は、見かけ上ｎ個現れますが、平均値を持つサンプルがたまたまあった場合を考えると、n-1個の差分であり、この場合の一般化（オフセットの処理）と考えたほうが、わかりやすいのではと思います。
ただ、この一般化が気持ち悪いのかもしれませんね。

このコメントは、結局、「自由度はn-1である」ということをもってまわって言っているだけです。平均値があるサンプル値に一致していない場合（普通はそうだが）、この人が言う「オフセットの一般化」となる、という意味なのでしょうが、分かりづらいし、ただの言い換えであまり意味がない。

おそらくですが、質問者さんは「自由度がn-1だからn-1で割っている」という説明では？だったのでご苦労されたものではないかと思いますので、さっくり無視して良いと思います。

お礼

ベストアンサーを差し上げます。
完全に理解しました。
ありがとうございました。

回答No.1

phosphole

私もこのコメントはよくわかりません。無視してしまって良いと思います。

このサイトの説明は、たとえば以下のサイトの説明と本質的には同じと思います。
https://mathtrain.jp/huhenbunsan
簡単な場合（n = 3）についてのみ具体的に計算されていますが、書かれているとおり、一般のnの場合についても証明は対して難しくはありません（帰納法でできる）。