標準偏差およびｔ－分布表について

質問

教えてください。
本に下記の例題がありました。

「取り出した標本が１０、２０、３０、４０であった
と仮定します。この平均値の信頼区間をｔ表でもとめてください。」

回答は以下のようです

「平均ｘは（１０＋２０＋３０＋４０）/ ４＝２５
標準偏差ｓは
ＳＱＲ｛（（１０－２５）＾２＋（２０－２５）＾２
・・・＋（４０－２５）＾２）/４）｝＝１１．２

このｘとｓを下記の式に代入して

ｔ＝（ｘ－μ）/(s/SQR(n-1))

と記述して計算しますとあります。

質問１
標本から取り出したサンプルからの標準偏差の分母は
標本数ｎでなく、標本数ｎから１を引いた値ｎ－１を分母として計算すると習ってきましたが、なぜこの問題ではｓを求めるのにｎ－１でなくｎで割ってあるのでしょうか？

ｔ分布表を使うときの標本の標準偏差はｎで計算した値を利用しておこなうと考えるのでしょうか？

質問２
標本の標準偏差の分母はｎ－１とすると習ってきましたが、標本数が２のときには２－１ではなく２のままで標準偏差を計算すのですか？

標本が３を超えたときｎ－１を適応するのでしょう
か？

回答No.5

he-goshite- · ベストアンサー

こんにちは。補足にお答えします。
じつは，間違ったことを書いてしまったので，管理者に回答の削除要求メールを出したのですが，まだ実行されません。
なにがなんだか分からなくさせて，ごめんなさい。
補足で質問してくださってありがとうございました。

言葉の定義は，
ごらんになった参考書のものが正しいです。
わたしのNo.3回答は取り消して，再度書き直します。

・標本の（√ｎで割った計算で求めた）標準偏差は「標本標準偏差」
・√(ｎ－１) で割った計算値は，母標準偏差の不偏推定値です。（不偏分散の平方根 ともいいます）

お礼

なんどもありがとうございました。
よく理解できました。

ご親切にご指導いただきましたこと感謝します。

回答No.6

kgu-2

nとn-1ですが、素人の私が理解できている範囲で。

　母集団の場合は、ｎで除算をします。しかし、母集団全体を利用できる場合は、1年A組とB組を比較するなど標本数が少なくて、全てを計算に利用できる場合に限られています。また、蛍光灯の寿命を比較する場合などは、全部の蛍光灯を試すと、販売のための商品がなくなってしまい、現実的ではありません。

　そこで、母集団から抜き取った標本を利用して母集団の値を推定します。その場合、標準偏差なら母集団はｎで除算をするわけですから、標本の場合は、危険性を配慮して、やや大きめになるように、n-1で除算をします（nで割るより、n-1で割った方が大きな値になる）。

　ある本に、nの値が小さいうちは、危険性が少なくなるし、nの値が大きい場合は、nでもn-1でも大して違わない、と書いてありました。確かに、99で割ろうと100で割ろうと、大して違わないかと。別の本には、n-1が適正(n-0.5でもなくn-2でもない)なのは、数学的に証明できると書いてありました。

お礼

具体的な内容でりかいできました。
ありがとうございました。
今後ともよろしくお願いいたします。

回答No.4

ymmasayan

No.1のymmasayanです。補足にお答えします。

＞補足質問ですが、はじめの標準偏差の計算の分母をｎ－１として求めた場合には、
＞ｔ分布の式のｓにこの値を代入して、自由度はｎ－１（４－１＝３）ではなく
＞ｎ＝４のｔ値を求めるのでしょうか？

√ｎと√（ｎ－１）が入れ替わっても一見よさそうですがｔ検定でやっぱりまずいですね。
正解が間違っているということで訂正をしてください。

最初の標準偏差の計算は４でなく３で割ります。
ｔ値を求めるときは√４を使います。
ｔ表を使うときの自由度は４－１＝３を使います。

回答No.3

he-goshite-

No.2です。用語が少し違っていましたので若干訂正します。

標本標準偏差＝不偏分散の平方根のことでした。すなわち，母標準偏差の不偏推定値のことです。（ｎ－１）を分母にしたときの値です。

標本データの（分母ｎでの）標準偏差計算値は，単に標準偏差というようです。

参考URL：

http://www.ssri.com/software/ex2000/function/basicstat.htm

お礼

ありがとうございました。
統計についても初心者なので、理解できるお言葉で説明いただきまして感謝します。
今後もよろしくおねがいします。

補足

言葉の定義を再度教えてください。

標本標準偏差＝母標準偏差の不偏推定値とのことですが、他の参考書によりますと以下のように書いてあります。なにがなんだかわからなくなりましたのでお教えください。

標本分散（ｓ＾２）は母分散の不偏推定値（ｋ＾２）ではないので下記に式をもちいて変換すると記述してあります。

ｋ＾２＝ｎ/(n-1)×ｓ＾２・・・（１）

この参考書によりますと

母集団の各名称は
　母平均、母分散、母標準偏差

母集団の不偏推定値の名称は
　母平均の不偏推定値、母分散の不偏推定値、母標準偏差の不偏推定値

標本では
　標本平均、標本分散、標本標準偏差

との名称をしようするとなっています。

仮にこれが間違えでないとすると、教えていただいてる標本標準偏差＝母標準偏差の不偏推定値と定義するのは正しくないと考えます。

母分散の不偏推定値を求めるのに標本分散を（１）式に代入して算出するとの記述が正しいとするなら、標本標準偏差は母分散の不偏推定値であるとの定義は適切ではないとおもわれますがいかがでしょうか？

言葉の定義がわかりません。
ご指導お願いします。

回答No.2

he-goshite-

masa104さんの習ったこと（あるいはその記憶）に少し間違いがあると思います。

・標本データの標準偏差（そのもの）すなわち，標本標準偏差を求めるときは，分母を √ｎ(＝ｎ^(1/2)）としてください。これは約束事（定義）です。
・標本データを使って，母集団の標準偏差すなわち母標準偏差，の推定値を求めるときには，
分母を√(ｎ－１)（＝(ｎ－１)^(1/2)）としてください。これは，その方が不偏推定値としてふさわしいからです。

回答No.1

ymmasayan

質問１．
疑問に思われるのは無理ありません。普通はおっしゃるとおりですがｔ分布の式に√（ｎ－１）が入っています。
√ｎと√（ｎ－１）はどちらがどちらにあっても構わないのです。紛らわしいですね。

質問２．
標本数が少なすぎると推定や検定の意味がありません。
せめて標本数が６個以上くらい欲しいところです。
√ｎと√（ｎ－１）の適用は設問１のとおりです。

お礼

最後箇所で理解できました。
お忙しいのに補足に対するご回答を早速いただきまして感謝したおります。

今後ともよろしくお願いいたします。

補足

ありがとうございます。

補足質問ですが、はじめの標準偏差の計算の分母をｎ－１として求めた場合には、ｔ分布の式のｓにこの値を代入して、自由度はｎ－１（４－１＝３）ではなくｎ＝４のｔ値を求めるのでしょうか？

お願いいたします。