数学の問題やりたい方

質問

関数の列fn(x)=(1+x)(1+x/2)・・・・(1+x/n)
nは自然数、xは実数である
fn(x)が収束、発散する範囲をそれぞれ判定せよ

これのやり方を教えてください

回答No.1

tmppassenger

準備：
A. 先ず　Σ[1≦k≦n] (1/k) がlim[n→∞]で発散する事はよく知られているが、簡単に記しておく。1/k = ∫[k≦t≦k+1] (1/k) dt > ∫ [k≦t≦k+1] (1/t) dt = log(t+1) - log(t)である故、Σ[1≦k≦n] (1/k) > Σ[1≦k≦n] (log(k+1) - log(k)) = log(n+1)。lim[n→∞] (log(n+1))は+∞に発散するのでΣ[1≦n<∞] (1/n)も+∞に発散する。

B. 次に、一般に実数xに対し、exp(x) ≧ 1+xであることを示しておく。g(x) = exp(x) - (1+x)とすると g'(x) = exp(x) -1である故、g'(x)はx<0で負、x=0で0、x>0で正である故、g(x)はx=0で最小値 g(0) = 0を取る。従って g(x) ≧0である。

さて、f[n](x) = (1+x) * (1+ (x/2)) * (1 + (x/3)) * ..... * (1+(x/n))とした時

a. x=0の時 f[n](0)は明らかに1なので、lim[n→∞] f[n](0) は 1に収束する

b. x>0の時 一般に a>0, b>0の時 (1+a)(1+b) = 1+a+b+ab > 1+a+bに注意すれば、f[n](x) > 1 + x + (x/2) + (x/3) + .... + (x/n) = 1 + x * (1+1/2+ 1/3+ ... + 1/n)となるから上Aで示した事より、lim[n→∞] f[n](x)は+∞に発散する。

c. x<0の時 実数 xに対し、|x| < Nとなる自然数 Nを取る。h[n,N](x) = (1+(x/(N+1)) * (1+ (x/(N+2) ) * (1+(x/(N+3)) * ... * (1+ x/n)とした時、f[n](x) = f[N](x) * h[n,N](x)である。
今 x<0であるから、 m≧N+1なら 1+x/m ≧1+x/(N+1) > 0となる。従って 、上Bで示したことから、0<h[n,N](x)≦ exp(x/(N+1) + x/(N+2) + x/(N+3) + .... + (x/n)) = exp(x * (1/(N+1) + 1/(N+2) + ... + 1/n)) である。一番右の辺は、上Aで示したことから、n→∞で0に収束するので（x<0に注意）、 h[n,N](x)はn→∞で0に収束。従って lim[n→∞] f[n](x)は0に収束する。