数III 微分

質問

（x^r)' = rx^(r-1)　を証明する問題なのですが、

ｒを　(1)自然数　(2)整数　(3)有理数　(4)実数
の時に分けてやるように書かれています。

lim[h→0]　f(x+h)-f(x) / h
の式を使ってやると思うのですが、上の４つに分ける意味はあるのでしょうか。　
有理数乗や実数乗を定義しなければいけないということでしょうか？

回答No.2

pomnyan · ベストアンサー

見た目の違う解答にできますよ。
(1)「微分の定義」lim[h→0]　f(x+h)-f(x) / h　で普通にやる。
(2)r>0は(1)で証明済みです。r=0ならy=1。問題はr<0ですが、y=1/x の微分を定義を使って証明してから、r=-k(kは自然数)とおくと、y = x^r = x^(-k) = (1/x)^k となって、後は合成関数の微分です。
(3)r=a/b（aは整数、bは自然数）とおいて、y^b=x^aを微分。
(4)y=e^x の微分を定義を使って証明(Hint:eのlimのついた定義を確認)，それを使ってy=log xの微分を証明、さらにそれらを使って、両辺logを取って微分。

分ける意味は、rが自然数でないと(x+h)^rの展開が出来ないよねとかそういうところにあります。ただ(4)が他を含んでいるようなので(4)の証明だけ書けば分ける意味はない？（逃）

URLも見つけましたので、細かいところでつまづいたら見てみてください。

参考URL：

http://amath.doshisha.ac.jp/~kon/lectures/2007.calculus-I/html.dir/node52.html

お礼

ありがとうございました。
自分でやってはみたのですが、所々行き詰まり、URL先を参考にさせていただき、大変助かりました。

回答No.1

noname#44017

この公式を証明するとき、

lim[h→0]　{(x + h)^r - x^r} / h

から始めるのですが、ここで、

(x + h)^r を『二項定理』を使って展開します。
（証明に関しては展開してから自分で計算してください。）

ところで『二項定理』は『 r は自然数』ということが条件に
ありますので、おのずとこの証明には
(1)自然数
という仮定が発生します。

次に r = 0 の場合は
(x^0)' = (1)' = 0 = 0*x^(0 -1)
とすればいいし、
r が負の整数の場合は
r = - s
とおくと『商の微分法』を使えばできます。
（計算してみてください。）

なので、
(2)整数
の場合が　(1)自然数　の場合を使って証明されます。

また、
(3)有理数　は『合成関数の微分法』＋(2)まで
できていないとできませんし、

(4)実数　　は『対数微分法』をつかって(3)まで
できていれば（それ以外にも指数対数の微分がわかっていれば）
証明できます。
といった感じで段階を踏む必要があります。

お礼

ありがとうございました。実際に計算してみました。
なかなか手ごわかったですが、手順を教えていただいたおかげで
とっかかりが分かりました。