cos について。

質問

cos 20°は作図可能か？教えていただけないでしょうか？すみません。答えは、作図不可能です。理由をわかりやすく解説していただけないでしょうか？

回答No.6

staratras

No.4です。厳密に証明するには、さまざまな「目配り」が必要なので、大まかな道筋をしめします。詳しくは前の回答で紹介した書籍を参考にしてください。

まず、作図題で使ってよいのはコンパスと定木（目盛りのない定規）だけです。そして、コンパスでできるのは、異なる 2 点が与えられたとき、片方の点を中心とし他方の点を通る円を描くこと、定木でできるのは、異なる 2 点が与えられたとき, その 2 点を通る直線を引くことだけです。「定木では長さは測れない」という点がポイントです。

そして、コンパスと定木を有限回操作するというのも条件で、逆に言えば、「ある操作を繰り返していくと、題意を満たす図形に限りなく近づいていく」、というのではダメです。

座標平面で考えれば作図題のこのルールによって作図できる数は、与えられた実数の加減乗除と、正の数の平方根をとることを有限回繰り返すことによって得られる数に限られます。

ここまでが準備（前提）で、これから本題に入ります。cos20°を作図できるかできないかということは、作図題のルール（以下ルールと略記）20°を作図できるかどうかということと同じです。

ルールで作図できる角度を考えると、すぐに可能だとわかるのは直角（90°）と60°です。与えられた（得られた）角度を2等分することはルールから可能ですので、45°や30°、15°なども可能です。また正5角形と正6角形もルールで作図できますので、両者の内角の差12°の2等分を2回繰り返すことによって3°も作図できます。ルールで作図できる角度で整数になる場合の最小値がこの3°です。1°や2°は作図できません。ルールで作図できる角度で整数になる場合はすべて3の倍数です。

20は3で割り切れませんので、こうした方法では作図できず、作図できるとすれば、作図可能な3の倍数の角度である60°を3等分するしかないと考えることができます。「60°をルールを守って3等分することが可能か」という問題になります。実は、一般に「任意の角の3等分はできない」ことが証明できます。（もちろん直角など特定の角は3等分可能）

「任意の角を3等分する」ということは、下の図で∠AOD（3θ）が与えられたとき∠AOB（θ）を作図することであり、これを長さで言い換えると、OE(a)が与えられたとき、OH(x)を求めることです。(DE,BHはそれぞれDとBからOAに下した垂線）計算の便宜上OA=OB=OC=OD=2とすると、cos3θ=a/2,cosθ=x/2 だから、3倍角の公式に代入して整理すると、次のxについての3次方程式(3等分方程式）を得ます。　x^3-3x-a=0　…（１）

「コンパスと定木だけでは任意の角を3等分する作図ができない」ということは、任意のaについて3次方程式（１）は加減乗除と平方根だけでは解けないということです。3次方程式の解が求められても、立方根を含む場合、その長さはコンパスと定木だけでは作図できません。

下の図は60度を3等分したものですが、このとき（１）はx^3-3x-1=0 …（２）となります。（２）の解のうち1<x<2の範囲にある解が求める長さです。ここで「有理数を係数に持つ3次方程式x^3+ax^2+bx+c=0が、有理数の解を持たなければ、この方程式はルールで作図可能な解を持たない」という定理がありますので、（２）が有理数の解を持たないことが証明できれば良いことになります。（念のために言えば、これは有理数の解しか作図できないという意味ではありません。作図可能な無理数の解（平方根を含む）を持つこともありますが、その場合でもこの3次方程式は有理数の解も持つという意味です）

そこで（２）が有理数の解を持ったと仮定してx=u/v (u,vは整数）を（２）に代入して矛盾することを示せば、（２）は有理数の解を持たないので、作図可能な解を持たず、題意は証明されたことになります。

回答No.5

asuncion

＞単に、0.9397 という数値にしかならないので。
この論法でいくと
cos45° ≒ 0.7071
も作図できないということになりそうですが、
実際は、定規とコンパスだけを使って作図できます。
直角を作ってそれを2等分すればよいですから。

回答No.4

staratras

cos20°が「作図不能」というのは、いわゆる作図題のルール（コンパスと直線を引く定木だけ使う）に従えば、という条件付きです。これは一般の三次方程式の解が加減乗除と平方根だけでは表せないということに帰着します。cos20°=t　とおけば3倍角の公式からcos60°=4t^3-3t=1/2なので tは　t^3-3/4t-1/8=0 の一つの解だからです。

ただしこの作図題のルールを緩和すれば、cos20°を2次曲線のグラフの交点として幾何的に求めることは可能です。

例えば　下のグラフのように赤の双曲線　x^2-y^2=(-1/6)x …（１）と青の放物線　y=x^2/(√3/2）…（２）を考えます。（２）を（１）に代入して整理すれば　x(x^3-3/4x-1/8)=0　となるので、tは（１）（２）の(0,0)以外の交点のx座標です。x≒0.94　くらいです。 　

なおこの問題に関しては「角の三等分」（矢野健太郎著　ちくま学芸文庫）という書籍に詳しく解説されています。

補足

そのルールに従って、作図不能の証明をしていただけないでしょうか？教えていただけないでしょうか？すみません。

回答No.3

gamma1854

(余弦の3倍角の公式より)、cos(pi/9)=x とおくとｘは、
4x^3 - 3x - 1/2=0.
の１つの解でありこれは平方根号およびその組み合わせで表現できないからです。

補足

どういうことでしょうか？教えていただけないでしょうか？すみません。

回答No.2

maiko04

分度器で20度取れば作図できる。

回答No.1

mpascal

単に、0.9397 という数値にしかならないので。