cos合成について

質問

xが実数、y≧0、x^2+y^2=2のとき2x-5yの最小値、最大値を求めよ

という問題で、x=√2cosθ、y=√2sinθとおいて解きたいのですが
解説ではcosの合成で解いています。
私はsinの合成で解いたのですが答えが合いません。
ちなみに答えは最小値-√58　最大値2√2です。

この問題はsinの合成では解けないのでしょうか。
解けるなら解説をお願いします。
また、cosの合成を使った方がいい場合はどのようなときなのでしょうか。

質問が多くてすみません。回答お願いします。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

「sinの合成」ってよくわかりませんが、
sinの加法定理を使うという意味なら

z = 2x - 5y, x=√2cosθ、y=√2sinθ (θ=0～π)とすし
z = 2√(2)cosθ-5√(2)sinθ=Asin(θ+B) とすると

Asin(θ+B)=AcosθsinB + AsinθcosB

なので 2√(2)=AsinB, -5√(2)=AcosB

(AsinB)^2 + (AcosB)^2 = A^2 = (2√(2))^2 + (-5√(2))^2 = 58

A = √(58)

sinB=5√(2)/√(58), cosB=-5√(2)/√(58)

つまり B は第2象限

以上から z = √(58)sin(θ+B)

θ+B は第2～4象限で変化するので、最小値は -√(58)
最大値はθ=0 だから　z= 2√(2)

お礼

ああ！わかりました！！
sinを勝手に第１象限として考えていたのでプラスマイナスが反対になっていました。
すっきり解決です！本当にありがとうございました！

回答No.1

asuncion

例解と質問者さんの答えが
どのように合わないかを
具体的に示してください。

補足

例解
y≧0より0≦θ≦π
2x-5y=2√2cosθ-5√2sinθ=√58cos(θ+α)
ただしcosα=2/√29　sinα=5/√29をみたす
α≦θ+α≦π+αより
-1≦cos(θ+α)≦2/√29
-√58≦2x-5y≦2√2

私の答え
2x-5y=-5√2sinθ+2√2cosθ=√58sin(θ+α)
sinα=2/√29　cosα=-5√29
α≦θ+α≦π+αより
sinα≦sin(θ+α)≦sin(π+α)=-sinα
-sinα≦sin(θ+α)≦１
最小値-2√2　最大値√58

という風にプラスマイナス逆になってしましました