cos(cos(cos(cosθ)))

質問

この問題がさっぱりわからずお手上げです。
どなたか教えてください。ロシアの数学五輪の問題だそうです。

以下の方程式を解け
cos(cos(cos(cosθ))) = sin(sin(sin(sinθ)))

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

θが実数の範囲なら「解なし」が答えです。

θ実数の範囲とする。
y1=cos(cos(cos(cosθ))) …(1)
y2=sin(sin(sin(sinθ))) …(2)
とおくと
(1),(2)とも周期2πの関数なので
　-π≦θ≦π　…(3)
の範囲で考えれば十分である。
y1＞y2 を示せは(1)と(2)が交わらないので元の方程式を満たす実数θが存在しないと言えます。
　-π≦θ≦0では y1＞0、y2≦0となるのでy1＞y2
　0≦θ≦π/4,3π/4≦θ≦πでは　y1＞0.6＞y2なので y1＞y2
　π/4＜θ＜3π/4では　y1＞0.7＞y2となるので y1＞y2
（なぜなるかはご自分で考えて見てください。グラフを描けば一目瞭然ですが。）
したがって、y1＞y2

実数解が存在しないので、全て虚数解となります。
虚数解については参考URLをご覧下さい。
「http://www.wolframalpha.com/input/?_=1315192468876&fp=1&i=solve%28cos%28cos%28cos%28cos%28x%29%29%29%29%3dsin%28sin%28sin%28sin%28x%29%29%29%29%2cx%29&incTime=true」

参考URL：

http://www.wolframalpha.com/

お礼

回答ありがとうございます。
y1,y2の値を数値的に出して、y1-y2>0を示して、実数の範囲では解無しが正解のようですね。

sinθ=a/cとして辺に戻したり、tanθにしたり、arcsinθにしたり、指数表示やテイラー展開、
両辺微分（合成関数の微分）なども試したのですが
どれも上手くゆきませんでした。