cosθの変換

質問

rがLより限りなく大きいとすると、

1/[1-(L/r)cosθ]の1/2乗≒(1+Lcosθ/2r)　　が成り立ちます。

私が頭を捻って考えても、どうしても答えが出ません。
どなたか解説してもらえませんか？

回答No.6

info22 · ベストアンサー

#３です。
A#３の補足の回答
使うテイラー展開の公式が違っていました。
すみません。1/2乗を忘れていました。
>テイラー展開の公式
>1/(1-X)=1+X+X^2+…
1/(1-X)^(1/2)=1+(1/2)X+(3/8)*X^2) +　…
のテイラー展開の公式を使います。
1/(1-X)≒1+(1/2)X
X=ax=(L/r)cosθ
を代入すれば良いです。

回答No.5

noname#101087

>(1-d)の1/2乗≒(1-d/2)
>↓
>右辺を2乗して、(1-d/2)^2≒1-d+(d/2)^2
>(d/2)^2≒0だから(1-d/2)^2＝1-d

その通りです。(あとの二つの式は、上が ＝、下が ≒)

>1/(1-d)≒(1+d/2)
>↓
>左辺の分子分母に(1+d)をかけ、1+d/(1-d^2)
>d^2≒0だから1/(1+d)＝(1+d)/1＝1+d

初めの式は当方のミス。
1/(1-d)≒(1+d)
↓
右辺に(1-d)をかけ、(1+d)*(1-d) = 1-d^2
d^2≒0だから (1+d)*(1-d)≒1

回答No.4

nious

微分の応用で「一次の近似式」を使います。すると、
|x|が十分に小さいとき、(1+x)^n≒1+nxと書けます。
|cos(θ)|≦1だから条件より L*cos(θ)/r は十分に小さいと見做せます。
よって与式≒1/{1-(L*cos(θ)/2r)}=2r{2r+L*cos(θ)}/{4r^2-L^2*cos^2(θ)}
≒2r{2r+L*cos(θ)}/(4r^2)=1+{L*cos(θ)/2r}

回答No.3

info22

x=L/r,a=cos(θ)とおくと|x|<<1ですから
テイラー展開の公式
1/(1-X)=1+X+X^2+…
で
X=axとおくと
1/(1-ax)=1+ax+(ax)^2 + ...
が成立します。0<x<<x^2とすれば
1/(1-ax)≒1+ax
この式でa=cos(θ)、x=L/rとおけば
質問の式になります。

テイラー展開については参考URLをご覧下さい。

参考URL：

http://math.artet.net/?eid=224404

お礼

回答ありがとうございます。
テイラー展開も考えたのですが、解が合いませんでした。

私もこの解は出たのですが、右辺に1/2が出ませんでした。

info22さんの回答でも1/(1-ax)≒1+axの式では右辺に1/2が足りないと思います。

回答No.2

noname#101087

訂正。

　1/(1-d)≒(1+d)

回答No.1

noname#101087

>rがLより限りなく大きいとすると、
>1/[1-(L/r)cosθ]の1/2乗≒(1+Lcosθ/2r)　　が成り立ちます .......

cosθの有無は関係ないと思います。

d≒0 の場合の一次近似、
　(1-d)の1/2乗≒(1-d/2)
および
　1/(1-d)≒(1+d/2)
の合わせワザ。

近似できるわけは、逆算してみるとわかります。
[例]
　(1-d/2)の2乗 = [1-d+(d/2)^2]

補足

(1-d)の1/2乗≒(1-d/2)
↓
右辺を2乗して、(1-d/2)^2≒1-d+(d/2)^2
(d/2)^2≒0だから(1-d/2)^2＝1-d

1/(1-d)≒(1+d/2)
↓
左辺の分子分母に(1+d)をかけ、1+d/(1-d^2)
d^2≒0だから1/(1+d)＝(1+d)/1＝1+d

と考えて良いでしょうか？
説明が下手ですみません・・・・