数学得意な方に質問です

質問

写真の問題の解き方と答えを教えてほしいです

回答No.2

tmppassenger

分からない事があれば、何が分からないかを書いてください。
それと、(i)の分子の最後は「√nのn乗」ではないし、(ii)も「√n!のn乗」ではありません

回答No.1

tmppassenger

(1)
先ず lim[n→∞] (n^(1/n)) = 1である事を証明せよ。
これは、n^(1/n)≧1であるが、一方任意のe>0に対し、 二項定理から n≧3ならば (1+e)^n > 1+en+n(n-1)e^2 である故、n≧3かつn> 1+(1/e^2)であるなら (1+e)^n > 1+en+n > nである故、 (1+e)^n > n。従って 1≦ n^(1/n) < 1+eであることから分かる。

これから、よく知られたCesàro 平均に関する事 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%81%E3%82%A7%E3%82%B6%E3%83%AD%E5%B9%B3%E5%9D%87 から (1)の答えは1であることが分かる

(2)
1からnまでの中で、(n/2)-2以上あるものは、n/2個以上あることに注意せよ。従って n! ≧ ((n-4)/2)^(n/2)であるから　(n!)^(1/n)≧ ((n-4)/2) ^ (1/2) である故、(2)は正の無限大に発散する。