半円周の等分

質問

初等幾何で辺の長さがわからないので質問します。
「円の直径AA'を底として正三角形ASA'を描き、次にAA'をm等分する点(mは任意の整数)とSを通る直線が、半円周ABA'と交わる点は半円周ABA'をm等分する。」これが真か偽を調べるために、まずmより小さいn(nは任意の整数)
をとりAA' 上に(n/m)*AA'に等しい長さAHをとり、半円周ABA'上に
(n/m)*半円周ABA'に等しい円弧ACをとり、C,Hを結ぶ直線と直線OSとの交点をGとすると、上記のことが真ならば、GとSは一致する。すなわちOG=OS=√3*OA。
またCから直線OS上に垂線CDを引くと、GHOとGCDは相似であるから、{OG/(OG+OD)}=OH/CDあるいはOG/OD={OH/(CD-OH)}より、OG={OH*OD/(CD-OH)}を得る。ここからがわからないのですが、OH,OD,CDの長さがわかりません。
三平方の定理や方べきの定理を使っても求められなかったです。本ではm=3のときnの値にかかわらず、OG=√3*OA
m=4のときnの値にかかわらず、OG=√2/{2*(√2-1)}*OA。m=6のときはｎによって変わると書いてありました。
どなたか、OH,OD,CDの長さの求め方を教えてくださいお願いします。

回答No.4

staratras

直接の回答でなくて申し訳ありませんが、「円の直径AA'を底として正三角形ASA'を描き、次にAA'をm等分する点(mは任意の整数)とSを通る直線が、半円周ABA'と交わる点は半円周ABA'をm等分する。」の真偽を判定するだけならば、直線の傾きを考えることによっても可能です。

以下、半径１の単位円上で考えます。Hを円の直径AA'をn:(m-n)に内分する点とします。つまりAA'をm等分してAからn番目のところです。(m,nは正の整数でm>n)
直線SHの傾きM1は、HO=2×((m/2)-n)/m)=1-(2n/m) だから
M1=HO/SO=｛1-(2n/m)｝/√3=(√3/3)(1-2n/m) …（１）
直線SHと円周の交点Cは、当然直線SH上にあるので、SCの傾きも同じです。

一方半円周ABA'をn:(m-n)に分割する点を点C'(x,y)とすると
x=cos(1/2-n/m)π=sin(n/m)π
y=sin(1/2-n/m)π=cos(n/m)π　（n/m＜1/2のとき、n/m>1/2のときは別途｠だから
直線SC'の傾きをM2とすると
M2=(cos(n/m)π)/(√3+sin(n/m)π) …（２）

（１）と（２）は一般には一致しません。例えばm=4,n=1を代入すれば、
M1=(√3/3)(1-2/4)=√3/6≒0.2886751…
M2=(cos(1/4)π)/(√3+sin(1/4)π)=(√6-1)/5≒0.289897…
M1≠M2　なのでCとC'は一致せず、上記の「　」の主張は偽です。
（ただしM1≒M2なので、適当に図を描くとCとC’が一致したように見え、一見正しそうに感じてしまいます。）

なおm=3のときは（１）と（２）は一致し、CとC'は同一の点になります。
m=3,n=1のとき、M1=M2=√3/9、m=3,n=2のとき、M1=M2=-√3/9です。

このため、m=3に限定して、「円の直径AA'を底として正三角形ASA'を描き、AA'を３等分する2点とSを通る直線が、半円周ABA'と交わる2点は半円周ABA'を３等分する。」ならば真です。

お礼

丁寧な解説と図ありがとうございます。

回答No.3

178-tall

(例) m=4 の場合
O を原点、GOB を x 軸、AOA' を Y 軸とした座標を想定し、OA = 1 とすると、
　H (0 , 1/2)
　C (1/√2), 1/√2)
の場合に相当するから、この 2 点を通る直線が x 軸をよぎる座標を求めればよい。

結果は x = -1/{√2(√2-1) } 。

お礼

半円周を等分した座標を出せないことに気づけました。ありがとうございます。

回答No.2

178-tall

(例) m=3 の場合
O を原点、GOB を x 軸、AOA' を Y 軸とした座標を想定し、OA = 1 とすると、
　H (0 , 1/3)
　C (√3/2, 1/2)
の場合に相当するから、この 2 点を通る直線が x 軸をよぎる x 座標を求めればよい。

結果は x = -√3。

お礼

１つ１つを場合わけして、説明していただきありがとうございます。

回答No.1

gamma1854

図において、円の半径を１として計算します。
AH=(n/m)AA' , (n/m<1/2 とす) であるとすると、
H(0, 1 - 2n/m), S(-√3, 0) ですから、
直線OH : y=(k/√3)(x+√3), (ただし、k=1 - 2n/m)
これから、Cの座標を計算すると、
C({-√3 *k^2+√(9-6k^2)}/(3+k^2), (k/√3)*{(3√3+√(9-6k^2)}/(3+k^2)).
となります。すなわち、
CH=(k/√3)*{(3√3+√(9-6k^2)}/(3+k^2).
となります。