直円錐の最短経路

質問

底面の半径2、高さが√5の直円錐がある。この直円錐の頂点をO、底面の直径の両端をA,Bとし、線分OBの中点をPとするとき、側面上でAからPに至る最短距離を求めよ。
という問題の解説がわかりません。

三平方の定理から　OA=√2＾2+√5＾2＝3、直円錐の底面の円周の長さは、2*Π*2=4Π
OAで切ったときの直円錐の側面の展開図において、全円周の長さは、2*Π*3=6Π
扇型AOA´の弧ABA´に対する中心角∠AOA´をθとする。弧ABA´の長さは直円錐の底面の円周の長さに等しいから。
6Π*θ/360°=4Π ゆえに θ=240°
側面上において、APが最短距離のとき、展開図ではAPは直線になる。
ここからの解説がよくわかりません。

よって三角形OAPにおいて、∠AOP=1/2*θ=120°

添付した画像でA´のところになぜBが来ないのでしょうか。
中心角が180°以上のときは、中心角/2の位置に、底面の直径の端の片方が来るのでしょうか。
解説がなぜ正しいかを高校生がわかる範囲で教えてください。

回答No.2

kagakusuki · ベストアンサー

質問者様が添付された画像の図に描かれている扇形AOA'は、直円錐の側面上の直線OAで側面を切り開いた展開図であり、それを元の直円錐の側面に戻す際には、直線OAと直線OA'が重なる様にして扇形AOA'を丸める事になります。
　つまり、直円錐の側面上の直線OAで側面を切り開いた事により展開図上では2つの点に分かれてしまっただけで、元々、直円錐の状態となっている時には点Aと点A'は同一の点だったのです。

>底面の直径の両端をA,Bとし

とある事から明らかな様に、点Aと点Bは異なる位置にある点なのですから、「点Aと同一の点である点A'」と「点Aと異なる位置にある点B」が異なる位置になり、

>添付した画像でA´のところになぜBが来ない

のは当たり前の話です。
　そして、

>底面の直径の両端をA,Bとし

という条件がありますから、底面の円周に沿って右回りに測った場合の弧ABの長さと、底面の円周に沿って左回りに測った場合の弧ABの長さは等しくなり、点Aを起点として底面の円周上を一周する場合を考えた際に、円周上の中点が点Bという事になります。
　質問者様が添付された画像の図に描かれている展開図において、

>弧ABA´の長さは直円錐の底面の円周の長さに等しい

のですから、点Bの位置は弧AA'の中点の位置になる訳です。
　点Bは弧の中点となる位置にあるのですから、

>中心角/2の位置

になる訳です。

お礼

細かな説明ありがとうございます。

回答No.1

f272

描かれている図は展開図なのだから，紙を切り取ってOAとOA'が重なるように組み立てて円錐を作ってください。小学生でもわかります。

お礼

組み立てるとは、気づきませんでした。ありがとうございます。