四辺形ABCDの対角線 ピタゴラスの定理

質問

定理の言い換えがわかりません。
四辺形ABCDの対角線AC,BDの交点をOとし、AC,BDの中点M,Nとする。点M,Nを通ってそれぞれBD,ACに平行に引いた直線の交点をPとすると、
△OAB+△OCD=2△PBCである。・・・(1)この定理に条件を加えて、AC⊥BD,OB=OC,OA=ODとすると、△OAB≡△OCDであるから、△OAB=△PBCである。また、点Pは△ABCの外心となる・・・(2)　これから、どんな定理が得られるか？が問題です。
答えは「直角2等辺三角形OBCの斜辺BCとし、辺OCのOをこえた延長上の1点を
Aとし、△ABCの外心をPとすると、△OAB=△PBCである。」が答えです。
わかることは、AC⊥BD,OB=OC,から直角2等辺三角形OBCの斜辺BCということぐらいです。△ABCの外心をPとすると以後が、どの条件から導かれるのかがわかりません。(1)、(2)どちらの条件かも区別がつきません。
なぜ答えのような定理になるか、教えてくださいおねがいします。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

直角2等辺三角形OBCの斜辺BCとし、
辺OCのOをこえた延長上の1点をAとし、
△ABCの外心をPとすると、

外心は△ABCの外接円の中心だから
PA,PB,PC,は外接円の半径だから全て等しい
|PA|=|PB|=|PC|

|PA|=|PC|だから
MをACの中点とすると
△PCAは2等辺3角形だから
|PA|=|PC|
|AM|=|CM|
∠PAM=∠PCM
だから2辺挟角が等しいから
△APM=合同=△CPM
∠AMP=∠CMP
∠AMP+∠CMP=180°だから
∠AMP=∠CMP=90°だから
PとACの中点Mを結ぶ直線
PMはACの垂直2等分線となる
∠OMP=∠AMP=90°…(3)
(2)からAC⊥BDだから
∠AOB=90°=∠AMP
同位角が等しいから
DB//MP(DBとMPは平行)…(4)

|PB|=|PC|だから
△PBCは2等辺3角形だから
BCの中点をEとすると
同様に
∠BEP=∠CEP=90°だから
PEはBCの垂直2等分線となる

△OBCは直角2等辺3角形だから
同様に
∠BEO=∠CEO=90°だから
OとBCの中点Eを結ぶ直線
OEはBCの垂直2等分線となる

PEとOEはともにBCの垂直2等分線だから
∠BEP=∠BEO=90°
だから
PはOE上の点となる…(5)

∠CEO=90°
△OBCは直角2等辺3角形だから
∠OCE=∠OCB=45°
∠COE=180°-∠CEO-∠OCE=180°-90°-45°=45°
(5)からPはOE上の点だから
∠MOP=∠COE=45°
これと(3)∠OMP=90°から
∠MPO=180°-∠OMP-∠MOP=180°-90°-45°=45°=∠MOP
だから
△MOPは直角2等辺3角形だから
|MO|=|MP|…(6)

(2)から
|OA|=|OD|
|OC|=|OB|
だから
|AC|=|OA|+|OC|=|OD|+|OB|=|BD|
MはACの中点で,
NをBDの中点とすると
|CM|=|AC|/2=|BD|/2=|BN|
これを|OC|=|OB|から引くと
|MO|=|OC|-|CM|=|OB|-|BN|=|NO|
これと(6)から
|MO|=|NO|=|MP|
(3)から∠OMP=90°
だから3辺が等しくその間の2角が90°だから
□MONPは正方形だから
NP//AC(NPとACは平行)

これと(4)から
MP,NPは
AC,BDの中点M,Nを通ってBD,ACに平行
だから(1)から
△OAB+△OCD=2△PBC
となる。
(2)から
△OAB≡△OCDだから
△OAB=△PBCである

お礼

丁寧な証明、ありがとうございます。