ある無理数を別の無理数で割っても割り切れませんか

質問

背理法などを使うのでしょうか。どのように考えたらよいかヒントをください。友人に言われました。

回答No.4

tmpname

割り切る、とか割り切れない、とかいうのは、一般的に考えている代数構造によります。整数の範囲では2は3で割り切れないですが、有理数の範囲では 2を3で割ると 2/3になって割り切れます（2/3という数は有理数の中にあるので）。ここで「整数の範囲では」というのは、代数構造をはっきり言うと「有理整数環の上では」ということで、有理数の範囲では、というのは「有理数体の上では」ということです。

同様にある無理数が別の無理数で割り切れるか、というのは、考えている代数構造に依存します。もちろん、実数体の上で考えるのであればつねに割り切れます（無理数なら0でない実数で、0でない実数の逆数は実数の中に存在するので）。実数体の部分環上で考えるのであれば、割り切れないことはあり得ます。

お礼

私には難しすぎる話でしたが、勉強させていただきます。

回答No.3

f272

#2です。

> その友人は整数でなくてもよいと言っていましたが・・・。

だから整数でないときの割り切れるという意味を聞いているのです。あなたの頭の中では，どういうときに割り切れるというのですか？

お礼

なるほど、もうすこし考えてみます。割り切れない場合もあるのかということのほうが問題なのでしょうか。

回答No.2

f272

割り切れるというのは，どういう意味で言っているのか？
よく使われている用語としては，整数どうしの割り算の答えが整数になるときに割り切れるというのだが...

お礼

その友人は整数でなくてもよいと言っていましたが・・・。

回答No.1

m-take0220

割り切れないとは限りません。
xが無理数の場合、2xも無理数です。
2x ÷ x = 2
となり割り切れます。

お礼

なるほどですね。むしろ割り切れない場合が実在することを証明する方が難しいのでしょうか。