有理数＋無理数＝無理数 の証明

質問

有理数＋無理数＝無理数ということは
イメージではわかるのですが　厳密に文字を使って証明することが出来ません。背理法を使って解くのでしょうか？

回答No.4

masterasia1919 · ベストアンサー

有理数＋無理数＝無理数でなく
有理数１＋無理数＝有理数２と仮定。
無理数＝有理数２ー有理数１
ｐ、ｑ、ｍ、ｎを整数とする

　　　　　　　　ｐ
有理数２＝　￣￣￣
　　　　　　　　ｑ

　　　　　　　　ｍ
有理数１＝　￣￣￣
　　　　　　　　ｎ

　　　　　　　　　　　　　　　　ｐ　　　　　ｍ
と仮定すれば無理数＝　￣￣￣　－　￣￣￣
　　　　　　　　　　　　　　　　ｑ　　　　　ｎ

　　　　ｐｎ－ｍｑ　　　　　　　　R
＝￣￣￣￣￣￣￣　　＝　￣￣￣￣
　　　　　　ｑｎ　　　　　　　　　K
ｐｎ－ｍｑ＝R（整数）
ｑｎ＝ｋ（整数）

となるので無理数＝有理数となり矛盾。よって有理数＋無理数＝有理数と仮定すると矛盾。よって有理数＋無理数＝無理数。

＞＞というより大学入試で無理数関係の証明問題がでればすべて背理法です。

そうとも限らない

回答No.3

phys

有理数は、整数の分数で表すことが出来る数です。無理数はそれが出来ない数です。

出来ないことを証明するというのは、出来ると仮定してそれが矛盾することを示すしかありません。

回答No.2

bigokun

ええ、背理法をつかってください。
というより大学入試で無理数関係の証明問題がでればすべて背理法です。

具体的に問題をみないと答えられませんが
背理法で必ずとくことができます。

回答No.1

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

有理数が四則について閉じているというのを全手にして良いのなら、

有理数(A)＋無理数(B)＝有理数(C) → 有理数(C)－有理数(A)＝無理数(B)
なので、少なくとも、有理数＋無理数は、有理数ではありません。
これで、「無理数」になったと思います。